Найдите расстояние между точкой M и прямой A1B1 на плоскости π, если отношение AM к MB равно 2:1, а длины отрезков

Чтобы найти расстояние между точкой M и прямой A1B1 на плоскости π, нам потребуется использовать формулу для нахождения расстояния от точки до прямой. Для начала, давайте обозначим данное отношение AM : MB как 2 : 1.

Таким образом, длина отрезка AM в 2 раза больше длины отрезка MB.

Предположим, что расстояние между точкой M и прямой A1B1 равно h (это то, что нам нужно найти).

Теперь рассмотрим прямую A1B1 и построим отрезок MP, который будет перпендикулярен A1B1. Для удобства, выберем произвольную точку P на прямой A1B1.

Давайте также обозначим длину этого отрезка MP как x. Заметим, что у нас есть два подобных треугольника: \(\Delta AMP\) и \(\Delta BMP\), так как у них одинаковые углы, и отношение сторон AM : MB также равно 2 : 1.

Теперь мы можем воспользоваться подобием треугольников для нахождения значения x. Расстояние от точки M до прямой A1B1 будет равно длине отрезка MP.

Так как AM : MB = 2 : 1, можно сказать, что AP : PB = 2 : 1.

Теперь рассмотрим треугольник AMP. У него уже известны значения двух сторон: AM = 2x и AP = 1 см (по условию задачи).

Используя теорему Пифагора, мы можем найти третью сторону - PM:

\[
PM = \sqrt{{AM}^2 - {AP}^2} = \sqrt{{(2x)}^2 - 1^2} = \sqrt{{4x^2 - 1}}
\]

Аналогично, рассмотрим треугольник BMP. У него известны значения сторон: MB = x и BP = 10 см. Используя теорему Пифагора, мы можем найти третью сторону - PM:

\[
PM = \sqrt{{MB}^2 + {BP}^2} = \sqrt{x^2 + 10^2} = \sqrt{x^2 + 100}
\]

Так как значения обоих выражений равны длине отрезка MP, мы можем приравнять их друг к другу:

\[
\sqrt{{4x^2 - 1}} = \sqrt{x^2 + 100}
\]

Для решения этого уравнения, возводим обе части в квадрат:

\[
4x^2 - 1 = x^2 + 100
\]

Переносим все слагаемые, содержащие x налево, а все остальные на право:

\[
4x^2 - x^2 = 100 + 1
\]

\[
3x^2 = 101
\]

Теперь делим обе части на 3, чтобы найти значение x^2:

\[
x^2 = \frac{{101}}{{3}}
\]

Наконец, извлекаем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти значение x:

\[
x = \sqrt{\frac{{101}}{{3}}}
\]

Теперь, когда мы знаем значение x, можем найти расстояние между точкой M и прямой A1B1, которое равно длине отрезка MP:

\[
h = \sqrt{{4x^2 - 1}} = \sqrt{{4 \cdot \left(\sqrt{\frac{{101}}{{3}}}\right)^2 - 1}} = \sqrt{{\frac{{404}}{{3}} - 1}} = \sqrt{{\frac{{401}}{{3}}}}
\]

Таким образом, расстояние между точкой M и прямой A1B1 на плоскости π равно \(\sqrt{{\frac{{401}}{{3}}}}\)