Каково минимальное значение функции у=6х-log2(x+6)² на интервале [-5.5

Для начала найдем производную функции \(y = 6x - \log_2(x+6)^2\), чтобы найти экстремумы функции. Затем мы сможем использовать эту информацию, чтобы найти минимальное значение функции на заданном интервале.

Для этого воспользуемся правилами дифференцирования:

\[y" = 6 - 2\log_2(x+6) \cdot \frac{1}{x+6} \cdot \frac{d}{dx}(x+6)\]

Продолжим упрощение:

\[y" = 6 - 2\log_2(x+6) \cdot \frac{1}{x+6} \cdot 1\]

\[y" = 6 - \frac{2\log_2(x+6)}{x+6}\]

После нахождения производной, приравняем ее к нулю, чтобы найти точку, где производная равна нулю:

\[6 - \frac{2\log_2(x+6)}{x+6} = 0\]

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дроби, умножив обе части на \(x+6\):

\[6(x+6) - 2\log_2(x+6) = 0\]

Раскроем скобки:

\[6x + 36 - 2\log_2(x+6) = 0\]

Теперь перенесем все слагаемые, не содержащие логарифм, в правую часть уравнения:

\[2\log_2(x+6) = 6x + 36\]

Затем разделим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от коэффициента перед логарифмом:

\[\log_2(x+6) = 3x + 18\]

Получившееся уравнение - это эквивалентное уравнение для определения точки, где производная равна нулю. Мы будем использовать его, чтобы найти эту точку, и затем проверим, находится ли эта точка в заданном интервале.

Теперь перейдем к заданному интервалу \([-5.5, ?]\). Первая граница интервала уже дана, поэтому нам нужно найти только вторую границу. Чтобы это сделать, найдем все значения \(x\) функции, где производная равна нулю. Выберем ту из них, которая больше \(-5.5\). Это будет второй конец интервала.

Теперь найдем точку, где \(\log_2(x+6) = 3x + 18\):

\(\log_2(x+6) = 3x + 18\)

Теперь возведем обе части уравнения в степень \(2\):

\(2^{\log_2(x+6)} = 2^{3x + 18}\)

\(x+6 = 2^{3x + 18}\)

Очень часто решить алгебраическое уравнение с логарифмами на практике методом алгебраического преобразования проблематично, но мы можем использовать численные методы, чтобы приблизительно найти значения \(x\).

Пожалуйста, дайте время для проведения вычислений и нахождения точек, где производная равна нулю, а также для определения второй границы заданного интервала.