Найдите радиусы окружностей, которые вписаны в треугольник и описывают его. В высоте проведена к основанию

Для решения данной задачи, давайте нарисуем треугольник и отметим известные значения:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & A & & \\
& & \nwarrow & & \nearrow & \\
& & & & & \\
B & \longleftarrow & C & \longrightarrow & D & \\
\end{array}
\]

Здесь \(A\) - вершина равнобедренного треугольника, \(BC\) - его основание, \(AD\) - высота треугольника. Мы знаем, что длина основания равна 24 см, а высота равна 9 см.

Так как мы имеем дело с равнобедренным треугольником, то высота перпендикулярна основанию и делит его на две равные части.

Теперь обратимся к вписанной в треугольник окружности. Эта окружность касается всех трех сторон треугольника.

Поскольку высота делит основание на две равные части, пусть \(E\) будет точкой касания окружности с стороной \(BC\) (то есть его серединой).

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & A & & \\
& & \nwarrow & & \nearrow & \\
& & & & & \\
B & \longleftarrow & C & \longrightarrow & D & \\
& & & & & \\
& & E & & & \\
\end{array}
\]

Также пусть \(F\) и \(G\) будут точками касания окружности с сторонами \(AB\) и \(AC\) соответственно.

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & A & & \\
& & \nwarrow & & \nearrow & \\
& \nwarrow & & & & \nearrow \\
B & \longleftarrow & C & \longrightarrow & D & \\
& & \swarrow & & \searrow & \\
& & & & & \\
& & E & & & \\
& & & & & \\
& F & & & & G \\
\end{array}
\]

Таким образом, у нас есть три радиуса окружностей, которые нужно найти: \(AE\), \(AF\) и \(AG\).

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABE\):

\[
\begin{array}{ccccccc}
& & & A & & & \\
& & \nwarrow & & \nearrow & & \\
& & & & & & \\
B & \longleftarrow & E & & D & & \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
& & F & & & G & \\
\end{array}
\]

Мы знаем, что \(BE = \frac{BC}{2} = \frac{24\,см}{2} = 12\,см\) (по свойствам равнобедренного треугольника).

Кроме того, по определению радиуса окружности, мы знаем, что окружность касается стороны в точке, являющейся серединой этой стороны. Таким образом, \(AE = BE = 12\,см\).

Аналогично, мы можем рассмотреть прямоугольные треугольники \(ACF\) и \(ACG\):

\[
\begin{array}{ccccccc}
& & & A & & & \\
& & \nwarrow & & \nearrow & & \\
& & & & & & \\
B & & & & & & D \\
& \nwarrow & & & \nearrow & & \\
& & F & & E & & G \\
\end{array}
\]

В обоих треугольниках основание равно \(AC = 24\,см\), а высота равна половине основания \(AD = \frac{BC}{2} = \frac{24\,см}{2} = 12\,см\) (так как высота делит основание равнобедренного треугольника на две равные части).

Следовательно, радиусы окружностей \(AF\) и \(AG\) также будут равны высоте треугольника и составят 12 см.

Таким образом, радиусы всех трех окружностей равны 12 см.

Надеюсь, данное объяснение было полным и понятным. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужна дополнительная информация, пожалуйста, дайте мне знать!