Найдите радиус окружности с центром вне треугольника АВС, которая касается продолжений боковых сторон и основания

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство вписанной окружности, согласно которому сумма длин хорд, проведенных из точек касания окружности с продолжениями боковых сторон треугольника, равна произведению радиуса окружности и расстояния между параллельными сторонами треугольника.

Обозначим радиус вписанной окружности как r, а расстояние между параллельными сторонами треугольника, проведенными через точки касания окружности с продолжениями боковых сторон, как d. Также пусть x и y будут длинами хорд, проведенных из точек касания окружности с продолжениями боковых сторон.

Из свойства вписанной окружности мы можем записать следующие уравнения:

x + y = d (1)
x = y (2)

Из условия задачи мы знаем, что основание AC равняется 4,2, и радиус вписанной окружности равен r. Также, если мы нарисуем отрезок AF, где F - точка касания окружности с продолжением боковой стороны BC, то можем заметить, что отрезок AF и отрезок AC образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой r и катетом 4,2.

Применим теорему Пифагора для этого треугольника:

\(AF^2 = AC^2 - FC^2\),
\(r^2 = (4.2)^2 - (d + r)^2\)

Раскрывая скобки и приводя подобные, получим:

\(r^2 = 17.64 - d^2 - 2dr - r^2\),
\(2r^2 + 2dr - d^2 = 17.64\) (3)

Теперь обратимся к уравнениям (1) и (2). Подставим x = y из уравнения (2) в уравнение (1):

\(2x = d\)

Теперь подставим это значение в уравнение (3):

\(2r^2 + 2r * 2x - (2x)^2 = 17.64\),
\(2r^2 + 4rx - 4x^2 = 17.64\) (4)

С уравнениями (3) и (4) у нас есть система уравнений, которую мы можем решить для нахождения значений r и x.

Сначала решим уравнение (4). Для этого приведем его к квадратному виду:

\(-4x^2 + 4rx + 2r^2 = 17.64\) (5)

Поскольку это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения значений x:

\(D = b^2 - 4ac\),
\(D = (4r)^2 - 4(-4)(2r^2)\),
\(D = 16r^2 + 32r^2 = 48r^2\)

Теперь используем формулу для нахождения значения x:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\),
\(x = \frac{-4r \pm \sqrt{48r^2}}{-8}\),
\(x = \frac{-4r \pm 4r\sqrt{3}}{-8}\),
\(x = \frac{r(1 \pm \sqrt{3})}{2}\)

Теперь рассмотрим значения x, в зависимости от знака в формуле. Если возьмем знак "+" в формуле для x, то получим значение:

\(x_1 = \frac{r(1 + \sqrt{3})}{2}\)

Если возьмем знак "-" в формуле для x, то получим значение:

\(x_2 = \frac{r(1 - \sqrt{3})}{2}\)

Теперь подставим значения x в уравнение (3):

Для \(x = x_1\):

\(2r^2 + 4r * \frac{r(1 + \sqrt{3})}{2} - 4(\frac{r(1 + \sqrt{3})}{2})^2 = 17.64\)

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

\(2r^2 + 2r^2(1 + \sqrt{3}) - r^2(1 + \sqrt{3})^2 = 17.64\),
\(2r^2 + 2r^2 + 2r^2\sqrt{3} - r^2(1 + 2\sqrt{3} + 3) = 17.64\),
\(4r^2 + 2r^2\sqrt{3} - r^2(4 + 2\sqrt{3}) = 17.64\),
\(4r^2 + 2r^2\sqrt{3} - 4r^2 - 2r^2\sqrt{3} = 17.64\),
\(0 = 17.64\)

Таким образом, решение \(x = x_1\) не удовлетворяет уравнению, что говорит о том, что значение x должно быть \(x = x_2\).

Теперь подставим это значение в уравнение (3):

Для \(x = x_2\):

\(2r^2 + 4r * \frac{r(1-\sqrt{3})}{2} - 4(\frac{r(1 - \sqrt{3})}{2})^2 = 17.64\)

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

\(2r^2 + 2r^2(1-\sqrt{3}) - r^2(1 - \sqrt{3})^2 = 17.64\),
\(2r^2 + 2r^2 - 2\sqrt{3}r^2 - r^2(1-2\sqrt{3} + 3) = 17.64\),
\(4r^2 - 2\sqrt{3}r^2 - r^2(4 - 2\sqrt{3}) = 17.64\),
\(4r^2 - 2\sqrt{3}r^2 - 4r^2 + 2\sqrt{3}r^2 = 17.64\),
\(0 = 17.64\)

Опять же, решение \(x = x_2\) не удовлетворяет уравнению, что говорит о том, что решения не существует.

Итак, мы пришли к выводу, что решение задачи не существует. Нет окружности, которая одновременно бы касалась продолжений боковых сторон и основания треугольника, если ее центр находится вне треугольника.