найдите предел (решите предельное значение) выражения, разделив числитель и знаменатель на n

Хорошо, я помогу вам с решением задачи на пределы. Давайте найдем предел выражения, разделив числитель и знаменатель на \(n\). Предположим, что у нас есть функция \(f(n)\) с числителем \(A(n)\) и знаменателем \(B(n)\).

Чтобы найти предел выражения, нужно рассмотреть, как ведут себя числитель и знаменатель, когда \(n\) стремится к бесконечности. Если оба числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, либо к cосией константе, мы можем применить правило Лопиталя для определения предела.

Правило Лопиталя гласит, что если предел \(A(n)\) и \(B(n)\) равны бесконечности, то предел отношения \(A(n)/B(n)\) будет равен пределу отношения производных \(A"(n)/B"(n)\).

Теперь, если числитель и знаменатель стремятся к константе или нулю, мы можем применить алгебраические преобразования и упростить выражение, прежде чем находить предел.

Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть следующее выражение: \(f(n) = \frac{n^2 + 5n}{3n - 2}\).

Первым шагом мы разделим числитель и знаменатель на \(n\):

\[f(n) = \frac{\frac{n^2}{n} + \frac{5n}{n}}{\frac{3n}{n} - \frac{2}{n}}\]

Упрощая выражение внутри скобок, получаем:

\[f(n) = \frac{n + 5}{3 - \frac{2}{n}}\]

Затем мы рассмотрим, как ведут себя числитель и знаменатель при \(n \rightarrow \infty\):

Числитель \(n + 5\) стремится к бесконечности при \(n \rightarrow \infty\).

Знаменатель \(3 - \frac{2}{n}\) также стремится к \(3\) при \(n \rightarrow \infty\).

Таким образом, предел выражения \(f(n) = \frac{n + 5}{3 - \frac{2}{n}}\) при \(n \rightarrow \infty\) равен:

\[\lim_{{n \to \infty}} \frac{n + 5}{3 - \frac{2}{n}} = \frac{\infty + 5}{3 - 0} = \frac{\infty}{3} = \infty\]

Итак, предел этого выражения равен бесконечности при \(n \rightarrow \infty\).

Надеюсь, я помог вам разобраться в решении пределов, разделяя числитель и знаменатель на \(n\). Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!