найдите предел (решите предельное значение) выражения, разделив числитель и знаменатель на n

Хорошо, я помогу вам с решением задачи на пределы. Давайте найдем предел выражения, разделив числитель и знаменатель на $n$. Предположим, что у нас есть функция $f(n)$ с числителем $A(n)$ и знаменателем $B(n)$.

Чтобы найти предел выражения, нужно рассмотреть, как ведут себя числитель и знаменатель, когда $n$ стремится к бесконечности. Если оба числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, либо к cосией константе, мы можем применить правило Лопиталя для определения предела.

Правило Лопиталя гласит, что если предел $A(n)$ и $B(n)$ равны бесконечности, то предел отношения $A(n)/B(n)$ будет равен пределу отношения производных $A"(n)/B"(n)$.

Теперь, если числитель и знаменатель стремятся к константе или нулю, мы можем применить алгебраические преобразования и упростить выражение, прежде чем находить предел.

Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть следующее выражение: $f(n)=\frac{n^2+5n}{3n-2}$.

Первым шагом мы разделим числитель и знаменатель на $n$:

$$f(n)=\frac{\frac{n^2}{n}+\frac{5n}{n}}{\frac{3n}{n}-\frac{2}{n}}$$

Упрощая выражение внутри скобок, получаем:

$$f(n)=\frac{n+5}{3-\frac{2}{n}}$$

Затем мы рассмотрим, как ведут себя числитель и знаменатель при $n\to \mathrm{\infty }$:

Числитель $n+5$ стремится к бесконечности при $n\to \mathrm{\infty }$.

Знаменатель $3-\frac{2}{n}$ также стремится к $3$ при $n\to \mathrm{\infty }$.

Таким образом, предел выражения $f(n)=\frac{n+5}{3-\frac{2}{n}}$ при $n\to \mathrm{\infty }$ равен:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+5}{3-\frac{2}{n}}=\frac{\mathrm{\infty }+5}{3-0}=\frac{\mathrm{\infty }}{3}=\mathrm{\infty }$$

Итак, предел этого выражения равен бесконечности при $n\to \mathrm{\infty }$.

Надеюсь, я помог вам разобраться в решении пределов, разделяя числитель и знаменатель на $n$. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!