Найдите площадь многоугольника с 8 сторонами и радиусом описанной окружности 12 см. Если корень в ответе отсутствует

Чтобы найти площадь многоугольника, нам понадобится знать формулу для площади многоугольника с радиусом описанной окружности. Формула такая:

\[ S = \frac{1}{2} n \cdot R^2 \cdot \sin \left( \frac{360}{n} \right) \]

где \( S \) - площадь многоугольника, \( n \) - количество сторон многоугольника, \( R \) - радиус описанной окружности.

Для многоугольника с 8 сторонами и радиусом описанной окружности 12 см:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12^2 \cdot \sin \left( \frac{360}{8} \right) \]

Переведем градусы в радианы:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12^2 \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{8} \right) \]

\[ S = 4 \cdot 144 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \]

Вычисляем синус угла \( \frac{\pi}{4} \), который равен \( \frac{1}{\sqrt{2}} \):

\[ S = 4 \cdot 144 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Упрощаем выражение:

\[ S = 4 \cdot 72\sqrt{2} \]

\[ S = 288\sqrt{2} \]

Таким образом, площадь многоугольника с 8 сторонами и радиусом описанной окружности 12 см равна \( 288\sqrt{2} \) см².

Теперь найдем площадь многоугольника с 9 сторонами и радиусом описанной окружности 12 см.

Используем ту же формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12^2 \cdot \sin \left( \frac{360}{9} \right) \]

Переведем градусы в радианы:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12^2 \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{9} \right) \]

\[ S = 4.5 \cdot 144 \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{9} \right) \]

Рассчитываем синус угла \( \frac{2\pi}{9} \):

\[ S = 4.5 \cdot 144 \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{9} \right) \approx 4.5 \cdot 144 \cdot 0.866 \approx 702.36 \]

Округляем ответ до целого числа:

\[ S \approx 702 \]

Таким образом, площадь многоугольника с 9 сторонами и радиусом описанной окружности 12 см составляет около 702 см².