Найдите площадь круга, который вписан в данный прямоугольный треугольник, если сумма длин его катетов равна 14 и радиус

Для решения данной задачи, нам понадобится знание о свойствах прямоугольного треугольника и о вписанной окружности.

Свойства:
1. В прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла к противоположной стороне, является высотой, медианой и биссектрисой.
2. Если окружность вписана в треугольник, то ее центр совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.
3. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине длины его гипотенузы.
4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен половине суммы длин его катетов.

Дано:
Сумма длин катетов равна 14.

Мы можем записать данное свойство в виде уравнения:
\(a + b = 14\), где a и b - длины катетов.

Теперь находим радиус описанной окружности:
Для этого используем свойство 3:
\[R = \frac{c}{2}\], где R - радиус описанной окружности, c - длина гипотенузы.

Из свойства 1, мы знаем, что \(c\) является медианой, высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника.

Теперь находим радиус вписанной окружности:
Для этого используем свойство 4:
\[r = \frac{a + b}{2}\], где r - радиус вписанной окружности.

Итак, у нас есть радиус описанной окружности \(R\) и радиус вписанной окружности \(r\), нам осталось найти площадь круга, который вписан в данный прямоугольный треугольник.

Площадь круга можно найти по формуле:
\[S = \pi r^2\]

Теперь проведем все рассчеты:
1. Зная что \(a + b = 14\), мы можем найти радиус вписанной окружности: \[r = \frac{a + b}{2} = \frac{14}{2} = 7\]
2. Зная что радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы \(c\), мы можем найти \(c\): \[R = \frac{c}{2} \Rightarrow c = 2R = 2 \cdot 7 = 14\]
3. Теперь мы можем найти площадь круга: \[S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 7^2 = 49 \pi\]

Итак, площадь круга, который вписан в данный прямоугольный треугольник, равна \(49 \pi\).