Найдите площадь круга, если ΔABC является равносторонним и DO = 7–√ метров. Используйте значение π округленное до 3,14

Решение:

Дано, что треугольник ABC является равносторонним, значит все его стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника через a.

Треугольник ABC можно разбить на три равносторонних треугольника AOC, BOC и AOB с высотой, проведенной из вершины O, перпендикулярной стороне AOC, BOC и AOB соответственно.

Так как треугольник ABC является равносторонним, то эти высоты являются медианами одного и того же треугольника.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, мы должны знать длину стороны a. Но в условии задачи дано, что DO = 7–√ метров. Значит, сторона треугольника равна a = 2·(7–√).

Теперь рассмотрим треугольник AOC. Он является прямоугольным, так как прямая OC является высотой, а сторона AO – основанием. Мы знаем, что хорда DO равна 7–√ метров, а хорда AO равна a. Поэтому, по теореме о хордах, сумма квадратов половин хорды и высоты равна квадрату радиуса окружности. Подставим известные значения:

\[(7-\sqrt{3})^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = R^2\]

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, поэтому:

\(49 - 14\sqrt{3} + 3 + \frac{a^2}{4} = R^2\)

\(52 - 14\sqrt{3} + \frac{a^2}{4} = R^2\)

Так как равносторонний треугольник является основанием правильного шестиугольника, то радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен радиусу описанной окружности шестиугольника. Радиус описанной окружности шестиугольника равен стороне самого треугольника. То есть радиус R равен a.

Поэтому уравнение можно записать как:

\[52 - 14\sqrt{3} + \frac{a^2}{4} = a^2\]

Упростим уравнение:

\[52 - 14\sqrt{3} = \frac{3a^2}{4}\]

Теперь найдем значение стороны треугольника a:

\[a = 2(7 - \sqrt{3})\]

\[a = 14 - 2\sqrt{3}\]

Подставим значение a:

\[52 - 14\sqrt{3} = \frac{3(14- 2\sqrt{3})^2}{4}\]

\[52 - 14\sqrt{3} = \frac{3(196-56\sqrt{3}+12)}{4}\]

\[52 - 14\sqrt{3} = \frac{3(208-56\sqrt{3})}{4}\]

\[52 - 14\sqrt{3} = 156 - 42\sqrt{3}\]

Теперь найдем значение радиуса R:

\[R = a = 14 - 2\sqrt{3}\]

Площадь круга можно найти с помощью формулы \(S = \pi R^2\). Подставим значение радиуса R:

\[S = \pi (14 - 2\sqrt{3})^2\]

\[S = \pi (196 - 56\sqrt{3} + 12)\]

\[S = \pi (208 - 56\sqrt{3})\]

Так как в условии задачи указано, что значение \(\pi\) округлено до 3,14, то можем подставить это значение:

\[S = 3,14 (208 - 56\sqrt{3})\]

\[S = 652,48 - 175,84\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь круга, если треугольник ABC является равносторонним и DO = 7–√ метров, равна \(652,48 - 175,84\sqrt{3}\) квадратных метров.