Найдите периметр треугольника, если площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна 25 квадратным единицам, а разность площадей квадратов, построенных на катетах, равна 7 квадратным единицам.
Lisenok
Для начала, давайте обозначим стороны треугольника. Пусть \(a\) и \(b\) - это длины катетов треугольника, а \(c\) - длина гипотенузы.
Мы знаем, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна 25 квадратным единицам. Это означает, что \(c^2 = 25\). Поскольку квадрат обязательно имеет положительную сторону, мы можем сказать, что \(c = \sqrt{25} = 5\).
Теперь рассмотрим разность площадей квадратов, построенных на катетах, равную 7 квадратным единицам. Обозначим сторону одного из таких квадратов как \(x\), а другого как \(y\). Тогда мы можем записать уравнение \(x^2 - y^2 = 7\).
Поскольку мы знаем, что гипотенуза равна 5, мы можем использовать теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). Подставим известные значения и преобразуем уравнение: \(a^2 + b^2 = 5^2\), то есть \(a^2 + b^2 = 25\).
Заметим, что \(x^2 - y^2 = 7\) и \(a^2 + b^2 = 25\) являются системой уравнений, которую мы можем решить, чтобы найти значения катетов.
Способом решения данной системы можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения.
1) Решим данный методом подстановки.
Из уравнения \(x^2 - y^2 = 7\) можно выразить одно из переменных через другое:
\(x^2 = 7 + y^2\).
Подставим это выражение в уравнение \(a^2 + b^2 = 25\):
\(a^2 + b^2 = 25\),
\(a^2 + (7 + y^2) = 25\),
\(a^2 + y^2 = 18\).
Теперь рассмотрим уравнение \(a^2 + b^2 = 25\) и \(a^2 + y^2 = 18\) как систему уравнений и решим ее:
\[ \begin{cases} a^2 + y^2 = 18 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases} \]
Мы можем решить первое уравнение относительно \(a^2\):
\(a^2 = 18 - y^2\).
Подставим это выражение во второе уравнение:
\(18 - y^2 + b^2 = 25\).
Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(b^2\):
\(b^2 = 25 - (18 - y^2)\),
\(b^2 = 7 + y^2\).
Таким образом, мы получили, что \(a^2 = 18 - y^2\) и \(b^2 = 7 + y^2\).
2) Решим данный методом сложения.
Из уравнений \(x^2 - y^2 = 7\) и \(a^2 + b^2 = 25\) мы можем получить следующую систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 7 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases} \]
Чтобы использовать метод сложения, мы можем сложить эти два уравнения:
\((x^2 - y^2) + (a^2 + b^2) = 7 + 25\),
\(x^2 + a^2 + b^2 - y^2 = 32\).
Теперь мы можем заменить \(x^2 + y^2\) на \(c^2 = 25\) и упростить уравнение:
\(c^2 + b^2 - y^2 = 32\),
\(25 + b^2 - y^2 = 32\).
Теперь мы можем представить это уравнение как систему уравнений:
\[ \begin{cases} b^2 - y^2 = 7 \\ 25 + b^2 - y^2 = 32 \end{cases} \]
Мы можем упростить второе уравнение:
\(25 + b^2 - y^2 = 32\),
\(b^2 - y^2 = 7\).
Мы опять получили систему уравнений \(b^2 - y^2 = 7\) и \(b^2 - y^2 = 7\).
В обоих методах решения системы уравнений мы получили одинаковые уравнения. Теперь решим их:
\(a^2 = 18 - y^2\) и \(b^2 = 7 + y^2\).
Теперь найдем значения \(a\) и \(b\), взяв корень от обоих выражений:
\[a = \sqrt{18 - y^2}, \quad b = \sqrt{7 + y^2}\].
Итак, мы получили выражения для длины катетов треугольника:
\(a = \sqrt{18 - y^2}\),
\(b = \sqrt{7 + y^2}\),
\(c = 5\).
Теперь наша задача - найти периметр треугольника. Периметр треугольника - это сумма длин его сторон. В нашем случае, это \(a + b + c\):
\[
\text{Периметр} = a + b + c = \sqrt{18 - y^2} + \sqrt{7 + y^2} + 5
\]
Таким образом, периметр треугольника равен \(\sqrt{18 - y^2} + \sqrt{7 + y^2} + 5\).
Мы знаем, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна 25 квадратным единицам. Это означает, что \(c^2 = 25\). Поскольку квадрат обязательно имеет положительную сторону, мы можем сказать, что \(c = \sqrt{25} = 5\).
Теперь рассмотрим разность площадей квадратов, построенных на катетах, равную 7 квадратным единицам. Обозначим сторону одного из таких квадратов как \(x\), а другого как \(y\). Тогда мы можем записать уравнение \(x^2 - y^2 = 7\).
Поскольку мы знаем, что гипотенуза равна 5, мы можем использовать теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). Подставим известные значения и преобразуем уравнение: \(a^2 + b^2 = 5^2\), то есть \(a^2 + b^2 = 25\).
Заметим, что \(x^2 - y^2 = 7\) и \(a^2 + b^2 = 25\) являются системой уравнений, которую мы можем решить, чтобы найти значения катетов.
Способом решения данной системы можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения.
1) Решим данный методом подстановки.
Из уравнения \(x^2 - y^2 = 7\) можно выразить одно из переменных через другое:
\(x^2 = 7 + y^2\).
Подставим это выражение в уравнение \(a^2 + b^2 = 25\):
\(a^2 + b^2 = 25\),
\(a^2 + (7 + y^2) = 25\),
\(a^2 + y^2 = 18\).
Теперь рассмотрим уравнение \(a^2 + b^2 = 25\) и \(a^2 + y^2 = 18\) как систему уравнений и решим ее:
\[ \begin{cases} a^2 + y^2 = 18 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases} \]
Мы можем решить первое уравнение относительно \(a^2\):
\(a^2 = 18 - y^2\).
Подставим это выражение во второе уравнение:
\(18 - y^2 + b^2 = 25\).
Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(b^2\):
\(b^2 = 25 - (18 - y^2)\),
\(b^2 = 7 + y^2\).
Таким образом, мы получили, что \(a^2 = 18 - y^2\) и \(b^2 = 7 + y^2\).
2) Решим данный методом сложения.
Из уравнений \(x^2 - y^2 = 7\) и \(a^2 + b^2 = 25\) мы можем получить следующую систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 7 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases} \]
Чтобы использовать метод сложения, мы можем сложить эти два уравнения:
\((x^2 - y^2) + (a^2 + b^2) = 7 + 25\),
\(x^2 + a^2 + b^2 - y^2 = 32\).
Теперь мы можем заменить \(x^2 + y^2\) на \(c^2 = 25\) и упростить уравнение:
\(c^2 + b^2 - y^2 = 32\),
\(25 + b^2 - y^2 = 32\).
Теперь мы можем представить это уравнение как систему уравнений:
\[ \begin{cases} b^2 - y^2 = 7 \\ 25 + b^2 - y^2 = 32 \end{cases} \]
Мы можем упростить второе уравнение:
\(25 + b^2 - y^2 = 32\),
\(b^2 - y^2 = 7\).
Мы опять получили систему уравнений \(b^2 - y^2 = 7\) и \(b^2 - y^2 = 7\).
В обоих методах решения системы уравнений мы получили одинаковые уравнения. Теперь решим их:
\(a^2 = 18 - y^2\) и \(b^2 = 7 + y^2\).
Теперь найдем значения \(a\) и \(b\), взяв корень от обоих выражений:
\[a = \sqrt{18 - y^2}, \quad b = \sqrt{7 + y^2}\].
Итак, мы получили выражения для длины катетов треугольника:
\(a = \sqrt{18 - y^2}\),
\(b = \sqrt{7 + y^2}\),
\(c = 5\).
Теперь наша задача - найти периметр треугольника. Периметр треугольника - это сумма длин его сторон. В нашем случае, это \(a + b + c\):
\[
\text{Периметр} = a + b + c = \sqrt{18 - y^2} + \sqrt{7 + y^2} + 5
\]
Таким образом, периметр треугольника равен \(\sqrt{18 - y^2} + \sqrt{7 + y^2} + 5\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
