Найдите периметр и площадь треугольника, в котором две стороны имеют длину 5 см и 16 см, а угол между ними составляет

Хорошо, давайте решим эту задачу. У нас есть треугольник, в котором две стороны имеют длину 5 см и 16 см, а угол между ними составляет 60 градусов.

Чтобы найти периметр треугольника, мы должны сложить длины всех его сторон. В нашем случае у нас есть две стороны - 5 см и 16 см. Но нам также необходимо найти длину третьей стороны.

Чтобы найти длину третьей стороны, мы можем воспользоваться косинусным правилом треугольника. Косинусный закон гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(C)\]

Где \(a\) и \(b\) - длины известных сторон треугольника, \(C\) - угол между этими сторонами, а \(c\) - длина третьей стороны.

В нашем случае, \(a = 5\) см, \(b = 16\) см и \(C = 60^\circ\). Подставим эти значения в формулу:

\[c^2 = 5^2 + 16^2 - 2\cdot 5\cdot 16\cdot\cos(60^\circ)\]

Вычислим это значение:

\[c^2 = 25 + 256 - 160\cdot\cos(60^\circ)\]

Для вычисления значения косинуса угла в градусах, мы можем использовать таблицу значений или калькулятор. Косинус угла 60 градусов равен \(0.5\). Подставим это значение:

\[c^2 = 25 + 256 - 160\cdot 0.5\]
\[c^2 = 25 + 256 - 80\]
\[c^2 = 201 + 256\]
\[c^2 = 457\]

Чтобы найти длину третьей стороны \(c\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[c = \sqrt{457}\]
\[c \approx 21.40\text{ см}\]

Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника: 5 см, 16 см и около 21.40 см. Мы можем найти периметр, сложив длины всех сторон:

Периметр \(P = 5 + 16 + 21.40 \approx 42.40\text{ см}\)

Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона, которая выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

Где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

Подставим значения в формулу и решим:

\(p = \frac{{5 + 16 + 21.40}}{2} = \frac{{42.40}}{2} = 21.20\text{ см}\)

\[S = \sqrt{21.20(21.20 - 5)(21.20 - 16)(21.20 - 21.40)}\]

\[S = \sqrt{21.20 \cdot 16.20 \cdot 5.20 \cdot 0.20}\]

\[S = \sqrt{2199.456}\]

\[S \approx 46.89\text{ см}^2\]

Таким образом, периметр треугольника составляет около 42.40 см, а его площадь около 46.89 см².