Найдите периметр и площадь треугольника, в котором две стороны имеют длину 5 см и 16 см, а угол между ними составляет

Хорошо, давайте решим эту задачу. У нас есть треугольник, в котором две стороны имеют длину 5 см и 16 см, а угол между ними составляет 60 градусов.

Чтобы найти периметр треугольника, мы должны сложить длины всех его сторон. В нашем случае у нас есть две стороны - 5 см и 16 см. Но нам также необходимо найти длину третьей стороны.

Чтобы найти длину третьей стороны, мы можем воспользоваться косинусным правилом треугольника. Косинусный закон гласит:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$

Где $a$ и $b$ - длины известных сторон треугольника, $C$ - угол между этими сторонами, а $c$ - длина третьей стороны.

В нашем случае, $a=5$ см, $b=16$ см и $C={60}^{\circ }$. Подставим эти значения в формулу:

$$c^2=5^2+{16}^2-2\cdot 5\cdot 16\cdot \cos ({60}^{\circ })$$

Вычислим это значение:

$$c^2=25+256-160\cdot \cos ({60}^{\circ })$$

Для вычисления значения косинуса угла в градусах, мы можем использовать таблицу значений или калькулятор. Косинус угла 60 градусов равен $0.5$. Подставим это значение:

$$c^2=25+256-160\cdot 0.5$$
$$c^2=25+256-80$$
$$c^2=201+256$$
$$c^2=457$$

Чтобы найти длину третьей стороны $c$, возьмем квадратный корень от обеих сторон:

$$c=\sqrt{457}$$
$$c\approx 21.40\text{ см}$$

Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника: 5 см, 16 см и около 21.40 см. Мы можем найти периметр, сложив длины всех сторон:

Периметр $P=5+16+21.40\approx 42.40\text{ см}$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона, которая выглядит следующим образом:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Где $p$ - полупериметр треугольника, $a$, $b$, $c$ - длины сторон треугольника.

Подставим значения в формулу и решим:

$p=\frac{5+16+21.40}{2}=\frac{42.40}{2}=21.20\text{ см}$

$$S=\sqrt{21.20(21.20-5)(21.20-16)(21.20-21.40)}$$

$$S=\sqrt{21.20\cdot 16.20\cdot 5.20\cdot 0.20}$$

$$S=\sqrt{2199.456}$$

$$S\approx 46.89{\text{ см}}^2$$

Таким образом, периметр треугольника составляет около 42.40 см, а его площадь около 46.89 см².