Найдите периметр и площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 35, а диагональ имеет длину

Для решения этой задачи, нам необходимо знать связь между сторонами прямоугольника и его диагональю. Давайте воспользуемся теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (в прямоугольнике стороны являются катетами, а диагональ - гипотенузой):

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Где \(c\) - длина диагонали, \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника.

В нашем случае одна из сторон прямоугольника равна 35, а диагональ имеет неизвестную длину \(c\). Предположим, что вторая сторона также имеет длину \(a\) (так как прямоугольник).

Применяя теорему Пифагора, мы можем составить следующие уравнения:

\[c^2 = 35^2 + a^2\]
\[c^2 = a^2 + a^2\] (так как оба катета прямоугольника равны)
\[c^2 = 2a^2\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение \(c\).

\[c = \sqrt{2a^2}\] (извлечение квадратного корня обеих сторон)
\[c = \sqrt{2} \cdot a\] (упрощение)

Мы знаем, что длина диагонали равна \(\sqrt{2} \cdot a\). Давайте найдем периметр и площадь прямоугольника, используя эту информацию.

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон. У нас есть одна из сторон равная 35, а другая сторона будет равна \(a\). Таким образом, периметр \(P\) будет равен:

\[P = 2 \cdot (a + 35)\]

Чтобы найти площадь прямоугольника \(S\), мы умножаем длину одной стороны на длину другой:

\[S = a \cdot 35\]

Теперь, чтобы получить окончательный ответ, мы можем заменить \(a\) в формулах периметра и площади диагональю \(c\):

\[P = 2 \cdot (\sqrt{2} \cdot c + 35)\]
\[S = \sqrt{2} \cdot c \cdot 35\]

Таким образом, мы можем найти периметр и площадь прямоугольника, используя формулы:

\[P = 2 \cdot (\sqrt{2} \cdot c + 35)\]
\[S = \sqrt{2} \cdot c \cdot 35\]