Найдите общую сумму всех натуральных значений переменной n, при которых значение выражения n^4 - 15n^2 + 25 является

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, давайте преобразуем выражение \(n^4 - 15n^2 + 25\). Мы можем заметить, что это является квадратным трехчленом, который можно факторизовать. Давайте попробуем его разложить:

\[n^4 - 15n^2 + 25 = (n^2 - 5)^2.\]

Теперь наше выражение можно переписать в таком виде: \((n^2 - 5)^2\).

Заметим, что квадрат любого числа всегда неотрицательный. Поэтому, \((n^2 - 5)^2 \geq 0\) для любого значения переменной \(n\).

Теперь пришло время проанализировать, когда выражение \((n^2 - 5)^2\) может быть простым числом. Вспомним, что простые числа - это числа, которые имеют только два делителя: 1 и само число.

Итак, чтобы \((n^2 - 5)^2\) было простым числом, возможно два случая:

1. \((n^2 - 5)^2 = 1\) - это означает, что \(n^2 - 5 = 1\) или \(n^2 - 5 = -1\). Решив эти уравнения, получим два значения \(n\): \(n = 2\) и \(n = -2\). Однако, по условию задачи, мы ищем только натуральные значения \(n\). То есть, мы не можем принять значение \(n\) равное -2. Таким образом, первое решение равно \(n = 2\).

2. \((n^2 - 5)^2\) не имеет других делителей, кроме 1 и самого числа. В этом случае выражение \((n^2 - 5)^2\) является простым числом. Однако, отрицательный квадрат трехчлена всегда положительный, поэтому \((n^2 - 5)^2\) всегда будет неотрицательным числом, а значит не может быть простым числом.

Таким образом, мы нашли только одно натуральное значение \(n\), при котором выражение \(n^4 - 15n^2 + 25\) является простым числом, а именно \(n = 2\).

Ответ: 2