Найдите объём отсечённого конуса, если изначальный конус имеет объём 343 см³ и сечение, проведенное параллельно

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Пусть V будет объемом исходного конуса, V_1 - объемом отсеченного конуса, h - высотой исходного конуса и h_1 - высотой отсеченного конуса. Также пусть R будет радиусом основания исходного конуса, а r - радиусом основания отсеченного конуса.

Нам дано, что V_1 = 343 см³ и отношение высот h_1 и h равно 2:5. Это означает, что

\(\frac{h_1}{h} = \frac{2}{5}\)

Так как объем конуса вычисляется по формуле V = \(\frac{1}{3}\)πR²h, то мы можем записать:

\(\frac{V_1}{V} = \frac{\frac{1}{3}\)πr²h₁}{\frac{1}{3}\)πR²h} = \frac{2}{5}\)

Теперь нам нужно выразить r в терминах R и использовать известный объем V исходного конуса 343 см³. Для этого мы заменяем h₁, используя данный объем:

\(\frac{343}{V} = \frac{\frac{1}{3}\)πr²h₁}{\frac{1}{3}\)πR²h}\)

293h₁ = Rh

Решим это уравнение относительно h₁:

h₁ = \(\frac{R}{27}\)h

Теперь мы можем заменить h₁ в изначальном уравнении:

\(\frac{343}{V} = \frac{\frac{1}{3}\)πr²(\(\frac{R}{27}\)h)}{\frac{1}{3}\)πR²h}\)

Упрощаем:

\(\frac{343}{V} = \frac{1}{27}\) * \(\frac{r²}{R²}\)

Теперь выразим r² в терминах R²:

\(\frac{r²}{R²} = \frac{343}{27} * \frac{V}{V}\)

Рассчитаем это выражение:

\(\frac{r²}{R²} = \frac{343}{27}\)

Теперь найдем значения r²:

r² = \(\frac{343}{27}\) * R²

Так как V = \(\frac{1}{3}\)πR²h и V₁ = \(\frac{1}{3}\)πr²h₁, мы можем заменить r² и h₁ в формуле для объема отсеченного конуса:

V₁ = \(\frac{1}{3}\)π * \(\frac{343}{27}\) * R² * \(\frac{R}{27}\)h

Это выражение даёт нам объем отсеченного конуса в зависимости от его изначального объема V.

Таким образом, мы нашли формулу для объема отсеченного конуса, и она зависит от изначального объема и размеров исходного конуса.