Найдите меры углов и длины сторон треугольника АВС, если известны длины его сторон АВ=6см, ВС=9см, АС=3см. 2Найдите

1) Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет нам найти длину одной из сторон треугольника, если известны длины двух других сторон и угол между ними. Обозначим угол между сторонами АС и ВС как угол ВАС (α).

Используя теорему косинусов, получим следующее выражение:

\[ВС^2 = АВ^2 + АС^2 - 2 \cdot АВ \cdot АС \cdot cos(α)\]

Теперь подставим известные значения в данное уравнение:

\[ВС^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot cos(α)\]

Согласно теореме косинусов, мы знаем, что cos(α) = (АВ^2 + АС^2 - ВС^2) / (2 \cdot АВ \cdot АС). Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

\[ВС^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \left(\frac{{6^2 + 3^2 - ВС^2}}{{2 \cdot 6 \cdot 3}}\right)\]

Приведем данное уравнение к удобному виду для решения:

\[ВС^2 = 36 + 9 - 36 \cdot \left(\frac{{1 + \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{2}}}}{{1}}\right)\]

\[ВС^2 = 45 - 36 \cdot \left(\frac{{13}}{{12}} - \frac{{2}}{{2}}\right)\]

\[ВС^2 = 45 - 36 \cdot \left(\frac{{13 - 12}}{{12}}\right)\]

\[ВС^2 = 45 - 36 \cdot \left(\frac{{1}}{{12}}\right)\]

\[ВС^2 = 45 - 3\]

\[ВС^2 = 42\]

\[ВС = \sqrt{42}\]

Таким образом, длина стороны ВС равна \(\sqrt{42}\) см.

2) В данной задаче нам известны длины сторон треугольника и одна из его сторон равна 12 дм. Обозначим длины сторон треугольника как АВ, ВС и АС.

Согласно свойствам подобных треугольников, соответствующие стороны подобных треугольников относятся как соответствующие стороны исходного треугольника. То есть, соотношение длин сторон треугольников составит:

\[\frac{{АВ}}{{5}} = \frac{{ВС}}{{6}} = \frac{{АС}}{{7}} = k\]

где k - коэффициент подобия.

Мы знаем, что меньшая сторона подобного треугольника равна 12 дм, следовательно:

\[12 = k \cdot 5\]

Решим данное уравнение относительно k:

\[k = \frac{{12}}{{5}}\]

Теперь найдем длины сторон треугольника:

\[АВ = 5 \cdot k = 5 \cdot \frac{{12}}{{5}} = 12\text{ дм}\]

\[ВС = 6 \cdot k = 6 \cdot \frac{{12}}{{5}} = 14.4\text{ дм}\]

\[АС = 7 \cdot k = 7 \cdot \frac{{12}}{{5}} = 16.8\text{ дм}\]

Таким образом, длины остальных сторон треугольника равны 12 дм, 14.4 дм и 16.8 дм.

3) Для треугольника АВС с углом А равным 60 градусов, стороной АС равной 6 см и стороной АВ равной 4 см, мы можем использовать формулу косинусов для нахождения длины стороны ВС.

Воспользуемся формулой косинусов:

\[ВС^2 = АВ^2 + АС^2 - 2 \cdot АВ \cdot АС \cdot cos(А)\]

Подставим известные значения:

\[ВС^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot cos(60^\circ)\]

Вычислим cos(60^\circ):

\[cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\]

Подставим это значение в уравнение:

\[ВС^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}\]

\[ВС^2 = 52 - 24\]

\[ВС^2 = 28\]

\[ВС = \sqrt{28}\]

Таким образом, длина стороны ВС равна \(\sqrt{28}\) см.