1) Найдите площадь вписанного круга и длину окружности, ограниченной им, для окружности с радиусом 4 корня

Конечно! Давайте решим эти задачи.

1) Для начала, чтобы найти площадь вписанного круга, нам понадобится радиус описанной около правильного треугольника окружности. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса.

Так как правильный треугольник имеет все стороны одинаковой длины, каждая сторона треугольника равна радиусу описанной около него окружности. Поэтому радиус равен 4 корня из 3.

Теперь мы можем найти площадь вписанного круга. Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга.

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[S = \pi \cdot (4 \sqrt{3})^2 = \pi \cdot 48 = 48\pi\]

Таким образом, площадь вписанного круга равна \(48\pi\).

Теперь перейдем к нахождению длины окружности, ограниченной вписанным кругом. Длина окружности вычисляется по формуле \(C = 2\pi r\).

Подставляя значение радиуса в формулу, получаем:
\[C = 2\pi \cdot 4 \sqrt{3} = 8\pi \sqrt{3}\]

Таким образом, длина окружности, ограниченной вписанным кругом, равна \(8\pi \sqrt{3}\).

2) Для нахождения площади кругового сектора нам понадобится знать длину дуги и радиус.

Для начала, у нас уже есть длина дуги, равная 8п, где п - это число π (пи).

Затем, нам нужно найти угол между лучами АО и АВ. Этот угол равен 120 градусов.

Формула для нахождения площади кругового сектора: \(S = \frac{{\text{{длина дуги}} \times \text{{радиус}} \times 2\pi}}{{360^\circ}}\)

Подставляем известные значения в формулу:
\[S = \frac{{8\pi \times r \times 2\pi}}{{360^\circ}}\]

Так как мы знаем, что 360 градусов равно \(2\pi\), можем упростить формулу:
\[S = \frac{{8\pi^2 r}}{{2\pi}}\]

Сокращаем \(\pi\) в числителе и знаменателе:
\[S = 4\pi r\]

Теперь осталось только подставить значение радиуса, который мы вычислили в первой задаче (4 корня из 3):
\[S = 4\pi \cdot 4 \sqrt{3} = 16\pi \sqrt{3}\]

Таким образом, площадь кругового сектора равна \(16\pi \sqrt{3}\).

Думаю, эти подробные решения помогут вам понять задачи.