Найдите косинус угла треугольника ABC, заданного вершинами A(6;8), B(4;2) и C(0;6

Чтобы найти косинус угла треугольника ABC, заданного вершинами A(6;8), B(4;2) и C(0;6), нам понадобятся следующие шаги:

Шаг 1: Найдите длины сторон треугольника ABC.
Для этого используйте формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.
Расстояние между точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) может быть найдено по формуле:
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

Применяя эту формулу к сторонам треугольника, мы получим:
AB = √[(4 - 6)² + (2 - 8)²]
BC = √[(0 - 4)² + (6 - 2)²]
CA = √[(0 - 6)² + (6 - 8)²]

Продолжая вычисления, получаем:
AB = √[(-2)² + (-6)²] = √[4 + 36] = √40
BC = √[(-4)² + (4)²] = √[16 + 16] = √32
CA = √[(-6)² + (-2)²] = √[36 + 4] = √40

Шаг 2: Найдите косинус угла треугольника.
Используя формулу косинуса, которая гласит: cos(θ) = (a² + b² - c²) / (2ab),
где a, b и c - длины сторон треугольника, мы можем найти косинус угла θ.

Применяя эту формулу к треугольнику ABC, получаем:
cos(∠BAC) = (AB² + CA² - BC²) / (2 * AB * CA)
cos(∠ABC) = (AB² + BC² - CA²) / (2 * AB * BC)
cos(∠BCA) = (BC² + CA² - AB²) / (2 * BC * CA)

Заменяя значения сторон, получаем:
cos(∠BAC) = (√40² + √40² - √32²) / (2 * √40 * √40)
cos(∠ABC) = (√40² + √32² - √40²) / (2 * √40 * √32)
cos(∠BCA) = (√32² + √40² - √40²) / (2 * √32 * √40)

Продолжая вычисления, получаем:
cos(∠BAC) = (40 + 40 - 32) / (2 * √40 * √40) = 48 / 80 = 0.6
cos(∠ABC) = (40 + 32 - 40) / (2 * √40 * √32) = 32 / 64 = 0.5
cos(∠BCA) = (32 + 40 - 40) / (2 * √32 * √40) = 32 / 64 = 0.5

Таким образом, косинусы углов треугольника ABC равны: cos(∠BAC) = 0.6, cos(∠ABC) = 0.5, cos(∠BCA) = 0.5.