Найдите корни уравнения 3тг^3x+3тг^2x+3тгx+1=0, принадлежащие интервалу [-p/2;p

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас дано уравнение: \(3\tan^3x + 3\tan^2x + 3\tan x + 1 = 0\).

1. Для начала давайте приведем уравнение к более удобному виду. Заметим, что каждый член содержит множитель 3, поэтому мы можем разделить на 3, чтобы упростить его. Получим:

\[\tan^3x + \tan^2x + \tan x + \frac{1}{3} = 0\].

2. Теперь предлагаю заменить переменную, чтобы привести уравнение к более простому виду. Обозначим \(y = \tan x\). Тогда уравнение примет вид:

\[y^3 + y^2 + y + \frac{1}{3} = 0\].

3. Мы знаем, что данное уравнение является кубическим уравнением. Чтобы найти его корни, мы можем воспользоваться различными методами, такими как метод Ньютона или кубическая формула. Однако, для этого конкретного уравнения, мы можем заметить, что у него есть один очевидный корень: \(y = -\frac{1}{3}\).

4. Теперь мы можем разделить исходное уравнение на \((y + \frac{1}{3})\), используя синтетическое деление или долгое деление, чтобы найти два оставшихся корня. Произведем деление:

\[
\begin{array}{c|cccc}
-\frac{1}{3} & 1 & 1 & 1 & \frac{1}{3} \\
\hline
& 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\
\end{array}
\]

Таким образом, у нас получается \(y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{3} = 0\).

5. Теперь этот квадратный трехчлен можно решить с помощью квадратного уравнения. Применим квадратную формулу:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 1\), \(b = -\frac{2}{3}\), \(c = \frac{1}{3}\).

Вычислим значения:

\[y_1 = \frac{-(-\frac{2}{3}) + \sqrt{(-\frac{2}{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3}}}{2 \cdot 1}\]
\[y_2 = \frac{-(-\frac{2}{3}) - \sqrt{(-\frac{2}{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3}}}{2 \cdot 1}\]

После упрощения получаем:

\[y_1 = \frac{2 + \sqrt{\frac{4}{9} - \frac{4}{3}}}{2}\]
\[y_2 = \frac{2 - \sqrt{\frac{4}{9} - \frac{4}{3}}}{2}\]

6. Последний шаг: подставим значения \(y_1\), \(y_2\) обратно в исходное уравнение \(y = \tan x\) и решим его:

Для \(y_1\):
\[\tan x_1 = y_1 = \frac{2 + \sqrt{\frac{4}{9} - \frac{4}{3}}}{2}\]

Для \(y_2\):
\[\tan x_2 = y_2 = \frac{2 - \sqrt{\frac{4}{9} - \frac{4}{3}}}{2}\]

В результате, мы получим два значения для \(x\), которые являются корнями исходного уравнения.

Пожалуйста, обратите внимание, что я использовал термин "принадлежащие интервалу \([-p/2;p]\)" для обозначения того, что значения \(x\) должны находиться в пределах указанного интервала. Это означает, что мы должны рассмотреть только те значения \(x\), которые попадают в данный интервал при подстановке \(y_1\) и \(y_2\) в \(\tan^{-1}\) (обратная тангенс) функцию.