Найдите координаты точки Р, если точка М делит отрезок РК в соотношении 2:1, и точки М и К имеют координаты (2;-4

Чтобы найти координаты точки Р, нам нужно разделить отрезок РК в соотношении 2:1.

Для начала, давайте найдем расстояние между точками М и К. Это можно сделать, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек М и К соответственно.

Подставляя значения координат в формулу, получаем:

\[d = \sqrt{{(3 - 2)^2 + (5 - (-4))^2}}\]

\[d = \sqrt{{1^2 + 9^2}}\]

\[d = \sqrt{{1 + 81}}\]

\[d = \sqrt{{82}}\]

Теперь нам нужно разделить отрезок РК в соотношении 2:1. Для этого мы можем использовать формулу для нахождения точки, которая делит отрезок в заданном соотношении:

\[x = \frac{{x_2 \cdot a + x_1 \cdot b}}{{a + b}}\]

\[y = \frac{{y_2 \cdot a + y_1 \cdot b}}{{a + b}}\]

Где (x, y) - координаты точки P, (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек М и К соответственно, а a и b - соответствующие части отрезка, в которые он делится.

В нашем случае, a = 2 и b = 1, так как отрезок РК делится в соотношении 2:1. Подставляя значения в формулу, получаем:

\[x = \frac{{3 \cdot 2 + 2 \cdot 1}}{{2 + 1}}\]

\[x = \frac{{6 + 2}}{{3}}\]

\[x = \frac{{8}}{{3}}\]

\[y = \frac{{5 \cdot 2 + (-4) \cdot 1}}{{2 + 1}}\]

\[y = \frac{{10 - 4}}{{3}}\]

\[y = \frac{{6}}{{3}}\]

Таким образом, координаты точки P равны \(\left(\frac{8}{3}, \frac{6}{3}\right)\), что можно упростить до \((\frac{8}{3}, 2)\).