Найдите координаты точки P, где окружность, вписанная в треугольник ABC со сторонами AB=9, BC=6, AC=11, касается

Для решения этой задачи нам понадобится некоторая информация о вписанной окружности и треугольнике.

Окружность, вписанная в треугольник, касается каждой из его сторон в точке, называемой точкой касания. Пусть P будет точкой касания окружности, вписанной в треугольник ABC со сторонами AB=9, BC=6, AC=11, с стороной AB.

Чтобы найти координаты точки P, можно воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Найдите полупериметр треугольника ABC, который определяется формулой:
\(s = \frac{{AB + BC + AC}}{2}\)
Для данного треугольника, полупериметр равен:
\(s = \frac{{9 + 6 + 11}}{2} = 13\)

Шаг 2: Найдите площадь треугольника ABC, используя формулу Герона:
\(S = \sqrt{{s(s-AB)(s-BC)(s-AC)}}\)
В нашем случае:
\(S = \sqrt{{13(13-9)(13-6)(13-11)}} = \sqrt{{13 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 2}} = \sqrt{{728}}\)

Шаг 3: Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины А, с использованием формулы площади:
\(S = \frac{{AB \cdot h}}{2}\)
Подставляем известные значения:
\(\sqrt{{728}} = \frac{{9 \cdot h}}{2}\)
Решаем уравнение относительно h:
\(h = \frac{{2 \cdot \sqrt{{728}}}}{9} = \frac{{2 \cdot \sqrt{{4 \cdot 7 \cdot 13}}}}{9} = \frac{{4 \cdot \sqrt{{91}}}}{9}\)

Шаг 4: Используя соотношение между площадью треугольника и радиусом вписанной окружности, можно найти радиус окружности:
\(S = s \cdot r\)
Подставляем известные значения:
\(\sqrt{{728}} = 13 \cdot r\)
Решаем уравнение относительно r:
\(r = \frac{{\sqrt{{728}}}}{13} = \frac{{\sqrt{{4 \cdot 7 \cdot 13}}}}{13} = \frac{{2 \cdot \sqrt{{91}}}}{13}\)

Шаг 5: Теперь мы можем найти координаты точки P. Заметим, что точка P будет находиться на пересечении линии, проходящей через середину стороны AB (пусть эта точка будет называться M) и перпендикулярной стороне AB из точки M. Так как сторона AB равна 9, то точка M будет находиться в середине стороны AB, поэтому её координаты будут (4.5, 0).

Чтобы найти координаты точки P, мы можем использовать следующие соотношения:
\(P_x = M_x + r\)
\(P_y = M_y + h\)

Подставим известные значения:
\(P_x = 4.5 + \frac{{2 \cdot \sqrt{{91}}}}{13}\)
\(P_y = 0 + \frac{{4 \cdot \sqrt{{91}}}}{9}\)

Выполняя соответствующие вычисления, получим координаты точки P:
\(P_x \approx 4.5 + 0.407\)
\(P_y \approx 0 + 0.548\)

Таким образом, координаты точки P примерно равны: (4.907, 0.548)