Найдите количество членов n в геометрической прогрессии, если сумма всех членов равна 170, первый член равен 256

Для решения данной задачи обратимся к формуле суммы n членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{{a(q^n - 1)}}{{q - 1}} \]

Где:
\( S_n \) - сумма первых n членов геометрической прогрессии,
\( a \) - первый член геометрической прогрессии,
\( q \) - знаменатель геометрической прогрессии.

В данной задаче нам известны значения:
\( S_n = 170 \),
\( a = 256 \),
\( q = -\frac{1}{2} \).

Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно n:

\[ 170 = \frac{{256 \left( -\frac{1}{2} \right)^n - 1}}{{-\frac{1}{2} - 1}} \]

Упростим уравнение и приведем его к более простой форме:

\[ 170 = \frac{{256 \left( -\frac{1}{2} \right)^n - 1}}{{-\frac{3}{2}}} \]

Умножим обе части уравнения на \(-\frac{3}{2}\):

\[ -\frac{3}{2} \cdot 170 = 256 \left( -\frac{1}{2} \right)^n - 1 \]

Упростим выражение \(-\frac{3}{2} \cdot 170\):

\[ -255 = 256 \left( -\frac{1}{2} \right)^n - 1 \]

Прибавим 1 ко всем частям уравнения:

\[ -254 = 256 \left( -\frac{1}{2} \right)^n \]

Разделим обе части уравнения на 256:

\[ -\frac{254}{256} = \left( -\frac{1}{2} \right)^n \]

Выразим степень \(-\frac{1}{2}\) как десятичную дробь:

\[ -\frac{127}{128} = \left( -\frac{1}{2} \right)^n \]

Таким образом, задача сводится к поиску такого значения n, при котором \(-\frac{1}{2}\) возводится в степень, равную \(-\frac{127}{128}\).

Чтобы найти значение n, мы можем воспользоваться логарифмической функцией:

\[ \log_{-\frac{1}{2}} \left( -\frac{127}{128} \right) = n \]

Вычислив данное выражение, мы найдем значение n:

\[ n = \log_{-\frac{1}{2}} \left( -\frac{127}{128} \right) \approx 7 \]

Итак, количество членов n в данной геометрической прогрессии равно 7.