Найдите другое линейное уравнение, чтобы при его сочетании с уравнением 2x-3y=6 образовалась система уравнений

Хорошо, чтобы найти другое линейное уравнение, образующее систему с единственным решением вместе с уравнением $2x-3y=6$, мы должны учесть два важных аспекта. Во-первых, система уравнений должна быть совместной, то есть иметь хотя бы одно решение. Во-вторых, система должна иметь только одно решение, что означает, что графики двух уравнений должны пересекаться в одной точке.

Давайте рассмотрим первое условие. У нас уже есть уравнение $2x-3y=6$. Чтобы найти другое уравнение, чтобы система была совместной, нам понадобится уравнение, которое не является просто кратным первому уравнению. Это поможет нам избежать ситуации, когда одно уравнение является линейной комбинацией другого.

Теперь для второго условия. Чтобы система имела только одно решение, графики двух уравнений должны пересекаться в одной и только одной точке. Это означает, что коэффициенты $x$ и $y$ во втором уравнении должны быть такими, чтобы график проходил мимо точки пересечения первого уравнения.

Давайте попробуем решить эту задачу. Пусть второе уравнение имеет вид $3x+2y=12$. Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{array}{rl}2x-3y=& 6\\ 3x+2y=& 12\end{array}$$

Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод замены или метод сложения/вычитания. Давайте воспользуемся методом сложения/вычитания. Умножим первое уравнение на 2 и второе уравнение на 3, чтобы сделать коэффициенты $y$ равными и противоположными.

$$\begin{array}{rl}4x-6y=& 12\\ 9x+6y=& 36\end{array}$$

Теперь сложим эти два уравнения.

$$4x-6y+(9x+6y)=12+36$$

Упростим это уравнение.

$$13x=48$$

Теперь разделим обе части уравнения на 13, чтобы найти значение $x$.

$$x=\frac{48}{13}$$

Подставим это значение $x$ в одно из исходных уравнений, например в первое.

$$2\left(\frac{48}{13}\right)-3y=6$$

Упростим это уравнение.

$$\frac{96}{13}-3y=6$$

Вычтем $\frac{96}{13}$ из обеих частей уравнения.

$$-3y=6-\frac{96}{13}$$

Упростим это уравнение.

$$-3y=\frac{78}{13}$$

Теперь разделим обе части уравнения на -3, чтобы найти значение $y$.

$$y=-\frac{78}{13\cdot 3}$$

Таким образом, мы нашли уникальное решение системы уравнений. Значит, уравнение $3x+2y=12$ в сочетании с $2x-3y=6$ образуют систему уравнений с единственным решением.