Найдите длину стороны AD в выпуклом четырёхугольнике ABCD, если известно, что точки M и K являются серединами сторон

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой о серединах треугольника. Эта теорема гласит, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине её длины.

Используя эту теорему, мы можем заключить, что отрезок MK параллелен стороне AC и равен половине длины стороны AC. То есть, MK = 1/2 * AC.

Также мы знаем, что AK = 3. Положим AD = x, тогда MD = x/2 и KD = AD - AK = x - 3.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник MKD. В нём MK и KD мы знаем – это x/2 и x - 3 соответственно. Найдём длину отрезка MD, воспользовавшись теоремой Пифагора:

\[MD^2 = MK^2 + KD^2\]

\[\left(\frac{x}{2}\right)^2 = MK^2 + (x - 3)^2\]

\[\frac{x^2}{4} = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + x^2 - 6x + 9\]

\[\frac{x^2}{4} = \frac{x^2}{4} + x^2 - 6x + 9\]

Отбросим одинаковые слагаемые \(\frac{x^2}{4}\) с обеих сторон уравнения:

\[0 = \frac{x^2}{4} - 6x + 9\]

Приравняем это к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

\[\frac{x^2}{4} - 6x + 9 = 0\]

\[x^2 - 24x + 36 = 0\]

Можно заметить, что это квадратное уравнение имеет стандартный вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -24\) и \(c = 36\).

Найдём дискриминант этого уравнения:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36\]

\[D = 576 - 144\]

\[D = 432\]

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Найдём их, используя формулу корней квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_{1,2} = \frac{-(-24) \pm \sqrt{432}}{2 \cdot 1}\]

\[x_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{432}}{2}\]

\[x_{1,2} = \frac{24 \pm 12\sqrt{3}}{2}\]

\[x_{1,2} = 12 \pm 6\sqrt{3}\]

Так как сторона должна иметь положительную длину, мы выбираем положительный корень:

\[x = 12 + 6\sqrt{3}\]

Таким образом, длина стороны AD в выпуклом четырёхугольнике ABCD равна 12 + 6\sqrt{3}.