Найдите длину отрезка между точками  m(4; −7; 2)  и  n(x; y; z), если точки симметричны относительно плоскости 

Для начала, нужно определить плоскость относительно которой точки m и n симметричны. Пусть данная плоскость имеет уравнение \(Ax + By + Cz + D = 0\).

Так как точки m и n симметричны, то середина отрезка, соединяющего эти две точки, должна лежать на этой плоскости. Рассмотрим середину отрезка, которая равна среднеарифметическому координат данного отрезка:

\(x_{\text{сер}} = \frac{x_m + x_n}{2}\)

\(y_{\text{сер}} = \frac{y_m + y_n}{2}\)

\(z_{\text{сер}} = \frac{z_m + z_n}{2}\)

Так как середина отрезка лежит на плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\), подставим координаты середины и получим:

\(A \cdot x_{\text{сер}} + B \cdot y_{\text{сер}} + C \cdot z_{\text{сер}} + D = 0\)

Подставим значения середины и координат точки m и решим полученное уравнение относительно x, y и z:

\(A \cdot \frac{x_m + x_n}{2} + B \cdot \frac{y_m + y_n}{2} + C \cdot \frac{z_m + z_n}{2} + D = 0\)

Раскрываем скобки:

\(A \cdot \frac{x_m}{2} + A \cdot \frac{x_n}{2} + B \cdot \frac{y_m}{2} + B \cdot \frac{y_n}{2} + C \cdot \frac{z_m}{2} + C \cdot \frac{z_n}{2} + D = 0\)

Упростим выражение:

\(\frac{A}{2} \cdot x_m + \frac{A}{2} \cdot x_n + \frac{B}{2} \cdot y_m+ \frac{B}{2} \cdot y_n + \frac{C}{2} \cdot z_m + \frac{C}{2} \cdot z_n + D = 0\)

Перепишем уравнение в более компактном виде:

\(\frac{A}{2} \cdot (x_m + x_n) + \frac{B}{2} \cdot (y_m + y_n) + \frac{C}{2} \cdot (z_m + z_n) + D = 0\)

Заметим, что у нас уже есть значения координат точек m и n:

\(x_m = 4\)

\(y_m = -7\)

\(z_m = 2\)

\(x_n = x\)

\(y_n = y\)

\(z_n = z\)

Подставим данные значения в уравнение:

\(\frac{A}{2} \cdot (4 + x) + \frac{B}{2} \cdot (-7 + y) + \frac{C}{2} \cdot (2 + z) + D = 0\)

Умножим все члены уравнения на 2 для удобства:

\(A \cdot (4 + x) + B \cdot (-7 + y) + C \cdot (2 + z) + 2D = 0\)

Результат этого уравнения должно быть равным нулю, так как точки m и n симметричны относительно этой плоскости.

Таким образом, мы получили уравнение, используя данную информацию о симметрии точек m и n относительно плоскости. Если у вас есть какие-либо значения для коэффициентов A, B, C и D, то вы можете решить это уравнение и найти значения координат точки n. С помощью полученных координат вы сможете найти длину отрезка между точками m и n, используя формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\(d = \sqrt{(x_m - x_n)^2 + (y_m - y_n)^2 + (z_m - z_n)^2}\)

Пожалуйста, уточните значения коэффициентов A, B, C и D, чтобы я смогу продолжить решение задачи.