Найдите длину отрезка mb на рисунке 127, где хорда ac пересекает диаметр kp в точке m, а угол abm=mec=90° и угол

Хорошо, давайте разберемся в этой задаче.

Мы имеем рисунок 127, на котором имеется окружность с центром в точке K и диаметром KP. Также на рисунке есть хорда AC, которая пересекает диаметр KP в точке M. Нам нужно найти длину отрезка MB.

У нас есть несколько условий задачи. Во-первых, угол ABM равен углу MEC, и оба этих угла равны 90 градусов. Во-вторых, угол CME равен 60 градусов. И, наконец, известно, что длина хорды AC равна 18 см.

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать свойства геометрии окружности и треугольника.

Давайте рассмотрим треугольник ABM. У нас есть два прямых угла, поэтому этот треугольник является прямоугольным. Также известно, что угол CME равен 60 градусам, поэтому угол AME равен (180 - 90 - 60) = 30 градусов.

Мы можем использовать эти углы, чтобы найти отношение сторон треугольника ABM. Так как угол ABM равен углу MEC, то у нас есть подобие треугольников ABM и MEC по принципу УУ. Следовательно, \(\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{ME}}\).

Теперь мы можем выразить сторону AB через сторону ME: \(AB = \frac{{AM \cdot ME}}{{MC}}\).

Далее, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AME для выражения стороны AM через стороны AB и ME: \(AM^2 = AB^2 + ME^2\).

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестные (AB и ME). Давайте решим эти уравнения методом подстановки.

Возьмем первое уравнение: \(AB = \frac{{AM \cdot ME}}{{MC}}\) и подставим его во второе уравнение: \(AM^2 = AB^2 + ME^2\).

Подставив значение AB, получаем: \(AM^2 = (\frac{{AM \cdot ME}}{{MC}})^2 + ME^2\).

Раскроем скобки: \(AM^2 = \frac{{AM^2 \cdot ME^2}}{{MC^2}} + ME^2\).

Уберем знаменатель: \(AM^2 \cdot MC^2 = AM^2 \cdot ME^2 + MC^2 \cdot ME^2\).

Далее, упростим выражение, выделив общий множитель: \(AM^2 \cdot MC^2 - AM^2 \cdot ME^2 = MC^2 \cdot ME^2\).

Факторизуем выражение: \(AM^2 \cdot (MC^2 - ME^2) = MC^2 \cdot ME^2\).

Теперь делим обе части уравнения на \(AM^2\): \(MC^2 - ME^2 = ME^2\).

Упростим: \(MC^2 = 2 \cdot ME^2\).

Воспользуемся третьим условием задачи: длина хорды AC равна 18 см. Мы знаем, что точка M делит диаметр KP пополам, поэтому длина отрезка MC равна половине длины диаметра. Таким образом, \(MC = \frac{{KP}}{2}\).

Подставим это значение в уравнение: \((\frac{{KP}}{2})^2 = 2 \cdot ME^2\).

Раскроем скобки: \(\frac{{KP^2}}{4} = 2 \cdot ME^2\).

Умножим обе части уравнения на 4: \(KP^2 = 8 \cdot ME^2\).

Теперь мы можем выразить сторону ME через сторону KP: \(ME = \frac{{KP}}{\sqrt{8}}\).

Мы также знаем, что длина хорды AC равна 18 см: \(AC = 18\).

Теперь вернемся к первому уравнению: \(AB = \frac{{AM \cdot ME}}{{MC}}\).

Так как угол AME равен 30 градусам и угол ABM равен 90 градусам, мы можем применить тригонометрию и выразить сторону AM через сторону AB и угол AME: \(AM = \frac{{AB}}{{\sin(30^\circ)}} = 2 \cdot AB\).

Подставим полученные выражения и решим уравнение.

\(AB = \frac{{AM \cdot ME}}{{MC}}\) \\
\(\frac{{AB}}{{2}} = \frac{{2 \cdot AB \cdot \frac{{KP}}{{\sqrt{8}}}}}{{\frac{{KP}}{{2}}}}\) \\
\(AB = 2 \cdot AB \cdot \frac{{KP}}{{\sqrt{8}}}\) \\
\(1 = \frac{{KP}}{{\sqrt{8}}}\) \\
\(KP = \sqrt{8}\).

Таким образом, мы нашли, что длина отрезка KP равна \(\sqrt{8}\) см.

Так как отрезок MB является половиной длины KP, то \(MB = \frac{{\sqrt{8}}}{2}\) см.

Следовательно, длина отрезка MB равна \(\frac{{\sqrt{8}}}{2}\) см.