Найдите длину отрезка mb на рисунке 127, где хорда ac пересекает диаметр kp в точке m, а угол abm=mec=90° и угол

Хорошо, давайте разберемся в этой задаче.

Мы имеем рисунок 127, на котором имеется окружность с центром в точке K и диаметром KP. Также на рисунке есть хорда AC, которая пересекает диаметр KP в точке M. Нам нужно найти длину отрезка MB.

У нас есть несколько условий задачи. Во-первых, угол ABM равен углу MEC, и оба этих угла равны 90 градусов. Во-вторых, угол CME равен 60 градусов. И, наконец, известно, что длина хорды AC равна 18 см.

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать свойства геометрии окружности и треугольника.

Давайте рассмотрим треугольник ABM. У нас есть два прямых угла, поэтому этот треугольник является прямоугольным. Также известно, что угол CME равен 60 градусам, поэтому угол AME равен (180 - 90 - 60) = 30 градусов.

Мы можем использовать эти углы, чтобы найти отношение сторон треугольника ABM. Так как угол ABM равен углу MEC, то у нас есть подобие треугольников ABM и MEC по принципу УУ. Следовательно, $\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{ME}$.

Теперь мы можем выразить сторону AB через сторону ME: $AB=\frac{AM\cdot ME}{MC}$.

Далее, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AME для выражения стороны AM через стороны AB и ME: $A{M}^2=A{B}^2+M{E}^2$.

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестные (AB и ME). Давайте решим эти уравнения методом подстановки.

Возьмем первое уравнение: $AB=\frac{AM\cdot ME}{MC}$ и подставим его во второе уравнение: $A{M}^2=A{B}^2+M{E}^2$.

Подставив значение AB, получаем: $A{M}^2=(\frac{AM\cdot ME}{MC}{)}^2+M{E}^2$.

Раскроем скобки: $A{M}^2=\frac{A{M}^2\cdot M{E}^2}{M{C}^2}+M{E}^2$.

Уберем знаменатель: $A{M}^2\cdot M{C}^2=A{M}^2\cdot M{E}^2+M{C}^2\cdot M{E}^2$.

Далее, упростим выражение, выделив общий множитель: $A{M}^2\cdot M{C}^2-A{M}^2\cdot M{E}^2=M{C}^2\cdot M{E}^2$.

Факторизуем выражение: $A{M}^2\cdot (M{C}^2-M{E}^2)=M{C}^2\cdot M{E}^2$.

Теперь делим обе части уравнения на $A{M}^2$: $M{C}^2-M{E}^2=M{E}^2$.

Упростим: $M{C}^2=2\cdot M{E}^2$.

Воспользуемся третьим условием задачи: длина хорды AC равна 18 см. Мы знаем, что точка M делит диаметр KP пополам, поэтому длина отрезка MC равна половине длины диаметра. Таким образом, $MC=\frac{KP}{2}$.

Подставим это значение в уравнение: $(\frac{KP}{2}{)}^2=2\cdot M{E}^2$.

Раскроем скобки: $\frac{K{P}^2}{4}=2\cdot M{E}^2$.

Умножим обе части уравнения на 4: $K{P}^2=8\cdot M{E}^2$.

Теперь мы можем выразить сторону ME через сторону KP: $ME=\frac{KP}{\sqrt{8}}$.

Мы также знаем, что длина хорды AC равна 18 см: $AC=18$.

Теперь вернемся к первому уравнению: $AB=\frac{AM\cdot ME}{MC}$.

Так как угол AME равен 30 градусам и угол ABM равен 90 градусам, мы можем применить тригонометрию и выразить сторону AM через сторону AB и угол AME: $AM=\frac{AB}{\sin ({30}^{\circ })}=2\cdot AB$.

Подставим полученные выражения и решим уравнение.

$AB=\frac{AM\cdot ME}{MC}$ \
$\frac{AB}{2}=\frac{2\cdot AB\cdot \frac{KP}{\sqrt{8}}}{\frac{KP}{2}}$ \
$AB=2\cdot AB\cdot \frac{KP}{\sqrt{8}}$ \
$1=\frac{KP}{\sqrt{8}}$ \
$KP=\sqrt{8}$.

Таким образом, мы нашли, что длина отрезка KP равна $\sqrt{8}$ см.

Так как отрезок MB является половиной длины KP, то $MB=\frac{\sqrt{8}}{2}$ см.

Следовательно, длина отрезка MB равна $\frac{\sqrt{8}}{2}$ см.