Найдите длину отрезка АК, если известно, что точка К принадлежит стороне ВС треугольника АВС, длина стороны АВ равна

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов устанавливает соотношение между длинами сторон треугольника и синусами соответствующих им углов.

Согласно теореме синусов, отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла постоянно. То есть, для треугольника АВС, мы можем записать следующую формулу:

\(\frac{AB}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle ACB)}\)

Для нашей задачи, длина стороны АВ равна 3 см, а длина стороны АС равна 9 см. Мы хотим найти отношение СК/КВ, поэтому нас интересует это отношение относительно стороны АВ.

Мы также знаем, что угол ВАС равен 120 градусам. Мы можем найти сторону ВС, используя теорему косинусов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle BAC)\]

Подставим известные значения:

\[9^2 = 3^2 + BC^2 - 2 \cdot 3 \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)\]

Упростим это уравнение:

\[81 = 9 + BC^2 - 6BC \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]
\[81 = 9 + BC^2 + 3BC\]

Теперь решим это уравнение относительно BC:

\[BC^2 + 3BC - 72 = 0\]

Мы можем решить это квадратное уравнение с использованием факторизации или квадратного корня. Решив его, мы получим два значения для BC: -12 и 6. Очевидно, что длина стороны не может быть отрицательной, поэтому BC = 6 см.

Теперь мы знаем все стороны треугольника АВС: AB = 3 см, AC = 9 см и BC = 6 см. Мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти отношение СК/КВ. Поскольку мы хотим найти это отношение относительно стороны АВ, мы будем использовать соотношение:

\(\frac{AK}{AB} = \frac{CK}{CB}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{AK}{3} = \frac{CK}{6}\)

Упростим это уравнение:

\(2AK = CK\)

Теперь мы знаем, что \(2AK = CK\), и мы можем найти отношение СК/КВ:

\(\frac{CK}{KB} = \frac{2AK}{KB} = \frac{2}{1}\)

Значит, отношение СК/КВ равно 2.

Таким образом, длина отрезка АК равна половине длины отрезка СК, а отношение СК/КВ равно 2.