Насколько нулей оканчивается перемножение первых 2020 простых чисел?

Для решения этой задачи нам нужно вычислить, сколько нулей будет в результате перемножения первых 2020 простых чисел.

Давайте сначала разберемся, когда в результате перемножения чисел появляются нули. Ноль будет появляться в результирующем числе только тогда, когда мы умножаем число на 10. А число умножается на 10 только тогда, когда в нем есть множитель 2 и множитель 5.

Теперь нам нужно подсчитать, сколько множителей 2 и 5 в произведении первых 2020 простых чисел. Поскольку простые числа не содержат множителей, кроме себя и единицы, нам нужно найти, сколько раз встречаются множители 2 и 5 во всех числах от 1 до 2020.

Подсчет количества множителей 5:
Для этого посчитаем, сколько чисел от 1 до 2020 делятся на 5 без остатка. В 2020 содержится 404 числа, делящихся на 5 без остатка.

Однако, в этом подсчете мы уже учли числа, которые содержат в себе более одного множителя 5. Например, число 25 содержит два множителя 5, поэтому мы должны учесть его только один раз. Для этого подсчитаем, сколько чисел от 1 до 2020 делятся на \(5^2\) без остатка. В 2020 содержится 80 чисел, делящихся на \(5^2\) без остатка.

Повторим этот процесс для \(5^3\), \(5^4\) и так далее до тех пор, пока результат будет меньше или равен 2020. В итоге мы получим:

Количество множителей 5: 404 + 80 + 16 + 3 = 503.

Подсчет количества множителей 2:
Аналогично, мы сначала посчитаем, сколько чисел от 1 до 2020 делятся на 2 без остатка. В 2020 содержится 1010 чисел, делящихся на 2 без остатка.

Затем мы посчитаем, сколько чисел от 1 до 2020 делятся на \(2^2\) без остатка. В 2020 содержится 505 чисел, делящихся на \(2^2\) без остатка.

Повторим этот процесс для \(2^3\), \(2^4\) и так далее до тех пор, пока результат будет меньше или равен 2020. Результат будет следующим:

Количество множителей 2: 1010 + 505 + 252 + 126 + 63 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 2013.

Теперь мы знаем, что количество множителей 5 (503) меньше количества множителей 2 (2013). Это означает, что минимальное количество нулей в результатах перемножения первых 2020 простых чисел будет равно количеству множителей 5, то есть 503.

Таким образом, перемножение первых 2020 простых чисел оканчивается на 503 нуля.