Нарисуйте треугольник, у которого две стороны равны и прямой угол. Поворачивая его на 45 градусов по часовой стрелке

Хорошо, давайте начнем с рисования треугольника. Поскольку в задаче указано, что у треугольника две стороны равны и есть прямой угол, мы можем изобразить его следующим образом:

\[
\begin{Bmatrix}
\\
\triangle ABC
\\
\end{Bmatrix}
\]

Где A, B и C - вершины треугольника, а угол B прямой угол.

Теперь давайте повернем треугольник на 45 градусов по часовой стрелке вокруг вершины B.

Чтобы это сделать, нам нужно определить новые координаты каждой вершины после поворота.

Предположим, что исходные координаты треугольника были следующими:

A(0, 0),
B(0, 1),
C(1, 0).

Для поворота на 45 градусов по часовой стрелке вокруг вершины B, мы можем использовать матрицу поворота:

\[
R = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{bmatrix}
\]

Где theta - угол поворота в радианах, в данном случае 45 градусов \(=\frac{\pi}{4}\).

Применим матрицу поворота к координатам треугольника. Пусть \(P\) будет новыми координатами треугольника:

\[
P = \begin{bmatrix}
x" \\
y"
\end{bmatrix}
= R \cdot \begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]

Где \(x, y\) - исходные координаты, а \(x", y"\) - новые координаты.

Теперь давайте подставим наши исходные координаты и получим новые координаты треугольника:

A":
\[
\begin{bmatrix}
x_A" \\
y_A"
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_A \\
y_A
\end{bmatrix}
\]

Подставляя значения координат А(0, 0) и \(\theta = \frac{\pi}{4}\):

\[
\begin{bmatrix}
x_A" \\
y_A"
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\
\sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4})
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}
\]

Вычисляя, получаем:

\[
\begin{bmatrix}
x_A" \\
y_A"
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}
\]

То есть новые координаты вершины A равны (0, 0).

B":
\[
\begin{bmatrix}
x_B" \\
y_B"
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\
\sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4})
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_B \\
y_B
\end{bmatrix}
\]

Подставляя значения координат B(0, 1) и \(\theta = \frac{\pi}{4}\):

\[
\begin{bmatrix}
x_B" \\
y_B"
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\
\sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4})
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
\]

Вычисляя, получаем:

\[
\begin{bmatrix}
x_B" \\
y_B"
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & 0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}
\]

Таким образом, новые координаты вершины B равны \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

C":
\[
\begin{bmatrix}
x_C" \\
y_C"
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\
\sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4})
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_C \\
y_C
\end{bmatrix}
\]

Подставляя значения координат C(1, 0) и \(\theta = \frac{\pi}{4}\):

\[
\begin{bmatrix}
x_C" \\
y_C"
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\
\sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4})
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
\]

Вычисляя, получаем:

\[
\begin{bmatrix}
x_C" \\
y_C"
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & 0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}
\]

Таким образом, новые координаты вершины C равны \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

Таким образом, после поворота треугольника на 45 градусов по часовой стрелке относительно вершины B, его новая конфигурация будет следующей:

\[
\begin{Bmatrix}
\\
\triangle A"B"C"
\\
\end{Bmatrix}
\]

Где A"(0, 0), B"\(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), C"\(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

Я надеюсь, что этот ответ понятен и полезен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!