Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку А и перпендикулярна прямой АВ. Известно, что А(-1,2,1

Чтобы написать уравнение плоскости, которая проходит через точку А и перпендикулярна прямой АВ, нам потребуется два ключевых элемента: координаты точки А и направляющие коэффициенты прямой АВ.

Первым шагом найдем направляющие коэффициенты прямой АВ. Для этого вычислим разности координат между точкой А и В:

\[
\begin{align*}
\Delta x & = x_{B} - x_{A} = -3 - (-1) = -2 \\
\Delta y & = y_{B} - y_{A} = 1 - 2 = -1 \\
\Delta z & = z_{B} - z_{A} = -2 - 1 = -3 \\
\end{align*}
\]

Получаем вектор направления: \(\mathbf{AB} = (-2, -1, -3)\).

Теперь перейдем к записи уравнения плоскости.

Уравнение плоскости можно записать в виде:

\[Ax + By + Cz + D = 0\]

где (A, B, C) - вектор, перпендикулярный плоскости, а (x, y, z) - координаты любой точки на плоскости.

С учетом того, что плоскость перпендикулярна прямой АВ и проходит через точку А, получаем следующие условия:

1. Вектор (A, B, C) перпендикулярен вектору направления прямой АВ, то есть их скалярное произведение равно нулю:

\[
A \cdot (-2) + B \cdot (-1) + C \cdot (-3) = 0
\]

2. Точка А (-1, 2, 1) должна удовлетворять уравнению плоскости:

\[
A \cdot (-1) + B \cdot 2 + C \cdot 1 + D = 0
\]

Теперь подставим известные значения и решим систему уравнений:

\[
\begin{align*}
-2A - B - 3C & = 0 \quad \text{(уравнение перпендикулярности)} \\
-A + 2B + C + D & = 0 \quad \text{(уравнение плоскости)}
\end{align*}
\]

Подставим значение A = -2, B = -1 и C = -3 в первое уравнение:

\[
-2 \cdot (-2) - (-1) - 3 \cdot (-3) = 0
\]

Упрощая, получаем:

\[
4 + 1 + 9 = 0
\]

Условие не выполняется. Подставим значение A = -2, B = -1 и C = 3 в первое уравнение:

\[
-2 \cdot (-2) - (-1) - 3 \cdot 3 = 0
\]

Упрощая, получаем:

\[
4 + 1 - 9 = 0
\]

Условие не выполняется. Ответ выглядит следующим образом:

1. -2x - 2y - 3z + 3 = 0
2. -2x - y - 3z + 4 = 0 (Неверно)
3. -2x - y - 3z + 3 = 0
4. 2x - y - 3z + 3

Таким образом, правильный ответ в данном случае - это уравнение плоскости номер 3: -2x - y - 3z + 3 = 0.