На заданном промежутке (-π/2; π/2), какое максимальное значение принимает функция y = 3cosx + cos3x/5?

Давайте начнем с поиска экстремумов функции на заданном промежутке (-π/2, π/2). Чтобы найти максимальное значение, сначала найдем производную функции y по переменной x.

\[y = 3\cos(x) + \frac{\cos(3x)}{5}\]

Для упрощения выражений, найдем сначала производные от каждого слагаемого по отдельности и затем сложим их:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3\cos(x)) + \frac{d}{dx}\left(\frac{\cos(3x)}{5}\right)\)

Дифференцируя первое слагаемое, мы можем использовать формулу для производной синуса:

\(\frac{d}{dx}(3\cos(x)) = -3\sin(x)\)

Дифференцируя второе слагаемое, мы можем воспользоваться формулой для производной композиции функций:

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos(3x)}{5}\right) = \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{d\cos(3x)}{dx}\right)\)

Теперь дифференцируем \(\cos(3x)\) с помощью формулы для производной косинуса:

\(\frac{d}{dx}(\cos(3x)) = -3\sin(3x)\)

Подставляем найденные значения обратно в исходное выражение:

\(\frac{dy}{dx} = -3\sin(x) + \frac{-3\sin(3x)}{5}\)

Теперь найдем точки, где производная равна нулю, чтобы определить потенциальные экстремумы:

\(-3\sin(x) + \frac{-3\sin(3x)}{5} = 0\)

Упростим это уравнение, умножив все элементы на 5, чтобы избавиться от дроби:

\(-15\sin(x) - 3\sin(3x) = 0\)

Теперь, найдя решения этого уравнения, мы сможем определить значения x, в которых производная равна нулю.

График синуса имеет период \(2\pi\) и принимает значение 0 в точках \(0, \pi, 2\pi, \ldots\).
Получается следующая система уравнений:

\[
\begin{cases}
-15\sin(x) = 0\\
-3\sin(3x) = 0
\end{cases}
\]

В первом уравнении мы имеем \(\sin(x) = 0\).
Это будет верно при \(x = 0, \pi, 2\pi, \ldots\).

Во втором уравнении мы имеем \(\sin(3x) = 0\).
Это будет верно при \(3x = 0, \pi, 2\pi, \ldots\), то есть \(x = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \ldots\).

Таким образом, потенциальные точки экстремума находятся в точках \(x = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\).

Найдем вторую производную, чтобы определить, являются ли эти точки точками максимума или минимума. Для этого продифференцируем первую производную:

\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-3\sin(x) + \frac{-3\sin(3x)}{5}\right)\)

Дифференцируем каждое слагаемое:

\(\frac{d}{dx}(-3\sin(x)) + \frac{d}{dx}\left(\frac{-3\sin(3x)}{5}\right)\)

Используя формулы производных синуса, получаем:

\(-3\cos(x) + \frac{-3\cos(3x) \cdot 3}{5}\)

\(-3\cos(x) - \frac{9\cos(3x)}{5}\)

Теперь, чтобы определить, являются ли точки экстремума точками максимума или минимума, подставим значения из потенциальных точек экстремума во вторую производную:

\[
\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases}
-3\cos(0) - \frac{9\cos(0)}{5} = -3 - \frac{9}{5} = -\frac{24}{5}, & \text{в точке } x=0\\
-3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{9\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{5} = -\frac{3}{2} - \frac{9}{5} \approx -3.7, & \text{в точке } x=\frac{\pi}{3}\\
-3\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) - \frac{9\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{5} = \frac{3}{2} - \frac{9}{5} \approx -1.7, & \text{в точке } x=\frac{2\pi}{3}\\
-3\cos(\pi) - \frac{9\cos(\pi)}{5} = -3 + \frac{9}{5} \approx -2.4, & \text{в точке } x=\pi\\
-3\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) - \frac{9\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)}{5} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{5} \approx -1.7, & \text{в точке } x=\frac{4\pi}{3}\\
-3\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) - \frac{9\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)}{5} = \frac{3}{2} + \frac{9}{5} \approx -0.6, & \text{в точке } x=\frac{5\pi}{3}
\end{cases}
\]

Получили значения второй производной в каждой из точек экстремума.
Теперь мы можем определить, какие точки являются точками максимума, и какое значение функции они принимают.

Высчитаем значения функции в найденных точках, чтобы определить, какие из них соответствуют максимальному значению:

\[
\begin{align*}
y(0) &= 3\cos(0) + \frac{\cos(0)}{5} = 3 + \frac{1}{5} = \frac{16}{5}, \\
y\left(\frac{\pi}{3}\right) &= 3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{3}\right)}{5} = \frac{3}{2} - \frac{1}{10} = \frac{14}{10}, \\
y\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= 3\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{\cos\left(\frac{6\pi}{3}\right)}{5} = -\frac{3}{2} - \frac{1}{10} = -\frac{17}{10}, \\
y(\pi) &= 3\cos(\pi) + \frac{\cos(3\pi)}{5} = -3 + \frac{1}{5} = -\frac{14}{5}, \\
y\left(\frac{4\pi}{3}\right) &= 3\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + \frac{\cos\left(\frac{12\pi}{3}\right)}{5} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{10} = -\frac{13}{10}, \\
y\left(\frac{5\pi}{3}\right) &= 3\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + \frac{\cos\left(\frac{15\pi}{3}\right)}{5} = \frac{3}{2} + \frac{1}{10} = \frac{17}{10}.
\end{align*}
\]

Теперь сравним значения функции в каждой точке, чтобы определить максимальное значение. Максимальное значение получается при \(x = \frac{5\pi}{3}\) и равно \(\frac{17}{10}\).

Таким образом, на заданном промежутке (-π/2, π/2) функция \(y = 3\cos(x) + \frac{\cos(3x)}{5}\) принимает максимальное значение \(\frac{17}{10}\) при \(x = \frac{5\pi}{3}\).