Каково расстояние от точки C до боковой стороны треугольника ABE?

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать теорему о перпендикулярных биссектрисах треугольника. По этой теореме, точка пересечения биссектрисы угла треугольника является точкой, равноудаленной от всех трех сторон треугольника.

Для начала, найдем биссектрису угла BAC, проложив ее из вершины A до точки D на стороне BC. Затем найдем биссектрису угла BAE, проложив ее из вершины A до точки F на стороне BE. Наконец, найдем точку пересечения этих двух биссектрис, которую обозначим буквой P.

Так как точка P является точкой, равноудаленной от сторон AC, AD и AE, то расстояние от точки C до боковой стороны треугольника ABE будет равно расстоянию от точки P до боковой стороны треугольника ABE.

Теперь рассмотрим треугольникы BDP и BFP. Оба этих треугольника имеют общую боковую сторону BP, и углы BPD и BPF равны, так как они являются углами при основаниях равнобедренных треугольников BCD и BEF соответственно. Кроме того, углы PBD и PBF равны, так как они являются углами побочных биссектрис углов BAC и BAE.

Таким образом, по признаку равенства углов треугольников, треугольники BDP и BFP подобны.

Используя свойство подобных треугольников, мы можем записать отношение длин отрезков BP и FP, равным отношению длин отрезков BD и BF:

\[\frac{BP}{FP} = \frac{BD}{BF}\]

Расстояние от точки C до боковой стороны треугольника ABE можно обозначить как x. Таким образом, расстояние от точки P до боковой стороны треугольника ABE также будет равно x.

Теперь мы можем записать отношение длин отрезков BP и FP, равным отношению длин отрезков BD и BF в виде:

\[\frac{x}{x+4} = \frac{BD}{BF}\]

Так как треугольники BDP и BFP подобны, отношение длин их сторон также будет равняться отношению длин их высот:

\[\frac{BD}{BP} = \frac{BF}{FP}\]

Мы знаем, что BD = 13 и BF = 10. Подставим эти значения в уравнение:

\[\frac{13}{BP} = \frac{10}{x+4}\]

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно x. Для этого умножим обе стороны уравнения на (x+4):

\[13(x+4) = 10BP\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[13x + 52 = 10BP\]

Выразим BP в терминах x:

\[BP = \frac{13x+52}{10}\]

Таким образом, мы выразили BP в терминах x. Теперь мы можем использовать полученное выражение для BP в другом уравнении:

\[\frac{13}{BP} = \frac{10}{x+4}\]

Подставим значение BP в это уравнение:

\[\frac{13}{\frac{13x+52}{10}} = \frac{10}{x+4}\]

Упростим это уравнение, умножая обе стороны на \(\frac{10}{13}\):

\[\frac{10}{x+4} = \frac{10}{10}\]

Таким образом, получаем:

\[\frac{10}{x+4} = 1\]

Умножим обе стороны уравнения на (x+4):

\[10 = x+4\]

Теперь решим это уравнение относительно x:

\[x = 6\]

Итак, расстояние от точки C до боковой стороны треугольника ABE равно 6 единицам длины.