На заданном интервале, нужно вычислить интеграл от функции f(x) = 24/x^2, где x - переменная

Хорошо, чтобы вычислить интеграл от функции \(f(x) = \frac{24}{x^2}\) на заданном интервале, мы воспользуемся методом определенного интеграла. Этот метод позволяет найти площадь под кривой функции на заданном интервале.

Итак, первым шагом будет записать интеграл функции \(f(x)\) с пределами интегрирования. В данном случае, пределы будут заданы для интервала.

Интеграл от \(f(x)\) на интервале от \(a\) до \(b\) записывается следующим образом:

\(\int_{a}^{b} \frac{24}{x^2} \, dx\)

Теперь приступим к решению этого интеграла пошагово.

1. Сначала найдем первообразную функции \(f(x)\). Чтобы сделать это, возьмем интеграл \(\frac{24}{x^2}\), используя правило степенной функции. Интеграл от \(\frac{1}{x^2}\) равен \(-\frac{1}{x}\). Поскольку у нас есть константа 24, результатом интегрирования будет \(-\frac{24}{x}\).

2. Теперь, чтобы вычислить определенный интеграл на заданном интервале \([a, b]\), подставим пределы интегрирования в первообразную функцию \(f(x)\). Получаем:

\(\left. -\frac{24}{x} \right|_{a}^{b}\)

Итак, мы должны вычислить выражение \(-\frac{24}{x}\) на интервале от \(a\) до \(b\).

3. Подставим верхний предел \(b\):

\(-\frac{24}{b}\)

4. Подставим нижний предел \(a\):

\(-\frac{24}{a}\)

5. Теперь найдем разность между выражением в верхнем пределе и выражением в нижнем пределе:

\(-\frac{24}{b} - \left(-\frac{24}{a}\right)\)

Можно заметить, что выражение \(\left(-\frac{24}{b}\right) - \left(-\frac{24}{a}\right)\) можно упростить. Если взять числитель общей дроби и вынести за скобки, то получится:

\(-\frac{24b - 24a}{ab}\)

6. Представим числитель в виде \(-24(b-a)\) при раскрытии скобок:

\(-\frac{24(b - a)}{ab}\)

Таким образом, получаем окончательный ответ:

\(-\frac{24(b - a)}{ab}\)

Это значение является численным значением интеграла от функции \(f(x) = \frac{24}{x^2}\) на интервале \([a, b]\).