На якій відстані від лінзи слід поставити предмет заввишки 2 см, щоб отримати: а) дійсне зображення заввишки 4

Очень хорошо! Давайте рассмотрим задачу о расстоянии, на котором нужно поставить предмет от линзы, чтобы получить определенное изображение.

В данной задаче мы имеем линзу, которая может создавать реальные и виртуальные изображения в зависимости от расположения предмета относительно линзы.

а) Для получения действительного изображения высотой 4 см, предмет должен находиться ближе к линзе, чем его фокусное расстояние. Давайте обозначим фокусное расстояние как \(f\), а расстояние от предмета до линзы как \(d\). Используя линзовое уравнение, мы можем записать:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d} - \frac{1}{d"}\]

где \(d"\) - расстояние от изображения до линзы.

Высота изображения соотносится с высотой предмета и их расстояниями до линзы следующим образом:

\[\frac{h"}{h} = \frac{d"}{d}\]

Подставим значения: \(h = 2\) см (высота предмета) и \(h" = 4\) см (высота изображения). Теперь мы можем решить уравнение для \(f\):

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d} - \frac{1}{d"}\]

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d} - \frac{1}{d"} = \frac{d"-d}{dd"}\]

\[\frac{1}{f} = \frac{d"-d}{dd"}\]

\[dd" = (d"-d)f\]

\[d"d = (d"-d)f\]

\[d^2 - dd" = d"f - df\]

\[d^2 - dd" = f(d" - d)\]

\[d(d-d") = f(d" - d)\]

\[d = \frac{f(d"-d)}{d"-d} = f\]

\[d = f\]

Таким образом, расстояние от предмета до линзы должно быть равным фокусному расстоянию, чтобы получить действительное изображение высотой 4 см.

б) Для получения действительного изображения высотой 1 см, высота предмета должна быть в два раза меньше высоты изображения, т.е. \(h" = 2h\). Используя тот же процесс, мы можем вывести формулу для определения расстояния от предмета до линзы:

\[d = \frac{f(d"-d)}{d"-2d} = \frac{2f}{3}\]

Таким образом, предмет должен находиться на расстоянии \(\frac{2}{3}\) от фокусного расстояния, чтобы получить действительное изображение высотой 1 см.

в) Для получения виртуального изображения, линза должна быть ближе к предмету, чем его фокусное расстояние. Растояние от предмета до линзы (\(d\)) должно быть меньше нуля.