На який час кулька, що рухається зі стану спокою, займає гірку довжиною l? Якої швидкості руху кульки по середині

Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися основними принципами кінематики. Перш ніж приступити до вирішення задачі, давайте визначимо вхідні дані.

Позначимо:
- \(l\) - довжину гірки
- \(v_1\) - швидкість кульки на початку руху (зі стану спокою)
- \(v_2\) - швидкість кульки у точці середини гірки
- \(v_{\text{сер}}\) - середню швидкість руху кульки на всій гірці
- \(v_{\text{мит}}\) - миттєву швидкість руху кульки у точці середини гірки

Тепер давайте розглянемо пошагове розв"язання цієї задачі:

Крок 1: Знаходимо час, який кулька займає на подолання гірки. Використовуємо формулу:

\[ l = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]

де \( g \) - прискорення вільного падіння (приблизно 9.8 м/с²).

Розв"язуючи цю формулу відносно \( t \), отримуємо:

\[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot l}{g}} \]

Крок 2: Знаходимо швидкість кульки у точці середини гірки. Використовуємо закон збереження енергії:

\[\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v_2^2 + mgh\]

де \(m\) - маса кульки, \(h\) - висота гірки.

Скасовуючи спільні члени, отримуємо:

\[ v_2^2 = v_1^2 - 2gh \]

Крок 3: Знаходимо середню швидкість руху кульки на всій гірці, використовуючи формулу:

\[ v_{\text{сер}} = \frac{l}{t} \]

Підставляємо значення з кроку 1:

\[ v_{\text{сер}} = \frac{l}{\sqrt{\frac{2 \cdot l}{g}}} = \sqrt{2 \cdot l \cdot g} \]

Крок 4: Знаходимо відношення миттєвої швидкості руху кульки по середині гірки до середньої швидкості руху кульки на всій гірці. Використовуємо формулу:

\[ \frac{v_{\text{мит}}}{v_{\text{сер}}} = \frac{v_2}{v_{\text{сер}}} \]

Підставляємо значення з кроку 2 та значення з кроку 3:

\[ \frac{v_{\text{мит}}}{v_{\text{сер}}} = \frac{\sqrt{v_1^2 - 2gh}}{\sqrt{2 \cdot l \cdot g}} \]

Це є окончельним відповіддю на всі запитання задачі.

На який час кулька, що рухається зі стану спокою, займає гірку довжиною \(l\): \(t = \sqrt{\frac{2 \cdot l}{g}}\)

Швидкість руху кульки по середині гірки: \(v_2 = \sqrt{v_1^2 - 2gh}\)

Середня швидкість руху кульки на всій гірці: \(v_{\text{сер}} = \sqrt{2 \cdot l \cdot g}\)

Миттєва швидкість руху кульки по середині гірки відрізняється від середньої швидкості руху кульки на всій гірці в \( \frac{\sqrt{v_1^2 - 2gh}}{\sqrt{2 \cdot l \cdot g}} \) раз.