На вертикальной платформе в форме диска стоит человек. Ему передали вращающееся колесо радиусом 40 см и массой

Чтобы определить частоту вращения платформы с человеком, необходимо рассмотреть законы сохранения механической энергии и момента импульса.

1. Начнем с закона сохранения момента импульса. Для этого используем уравнение моментов импульса:

\[I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2\]

где \(I_1\) и \(\omega_1\) - момент инерции и угловая скорость передачи, а \(I_2\) и \(\omega_2\) - момент инерции и угловая скорость после передачи.

Момент инерции системы состоит из массы колеса и человека. Так как масса колеса равна 4 кг, а радиус колеса - 40 см, момент инерции колеса вычисляется по формуле:

\[I_{колеса} = \frac{1}{2} \cdot m_{колеса} \cdot R_{колеса}^2\]
\[I_{колеса} = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{кг} \cdot (0.4 \, \text{м})^2\]

Суммарный момент инерции человека с платформой составляет 8 \(\text{кг} \cdot \text{м}^2\).

Таким образом, общий момент инерции после передачи равен сумме моментов инерции колеса и человека на платформе:

\[I_2 = I_{колеса} + I_{человека}\]

2. Закон сохранения механической энергии позволяет связать начальную кинетическую энергию системы суммой кинетических энергий отдельных составляющих. При этом кинетическая энергия может быть выражена через угловую скорость:

\[E_1 = \frac{1}{2} \cdot I_1 \cdot \omega_1^2\]
\[E_2 = \frac{1}{2} \cdot I_2 \cdot \omega_2^2\]

где \(E_1\) и \(E_2\) - кинетическая энергия системы до и после передачи, соответственно.

3. Теперь нужно заметить, что сила натяжения шнура выполняет работу, увеличивая кинетическую энергию системы. Работа силы может быть выражена в виде:

\[A = \tau \cdot \Delta \theta\]

где \(\tau\) - момент действующей силы (равный силе натяжения, умноженной на радиус колеса) и \(\Delta \theta\) - угол поворота колеса.

Теперь, зная значение силы натяжения шнура (500 Н) и угол поворота колеса (30°), можно рассчитать работу силы:

\[A = \tau \cdot \Delta \theta\]
\[A = (500 \, \text{Н}) \cdot (0.4 \, \text{м}) \cdot (\frac{30}{360} \cdot 2\pi)\]

Итак, вычислив работу силы натяжения шнура, можно равенством работ силы и изменения кинетической энергии (согласно закону сохранения механической энергии) рассчитать угловую скорость \(\omega_2\) платформы с человеком:

\[A = E_2 - E_1\]
\[\tau \cdot \Delta \theta = \frac{1}{2} \cdot I_2 \cdot \omega_2^2 - \frac{1}{2} \cdot I_1 \cdot \omega_1^2\]
\(500 \, \text{Н} \cdot 0.4 \, \text{м} \cdot \left( \frac{30}{360} \cdot 2\pi \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( I_{колеса} + I_{человека} \right) \cdot \omega_2^2 - \frac{1}{2} \cdot I_{человека} \cdot \omega_1^2\)

Используя значение \(I_{колеса}\) и \(I_{человека}\), а также угловую скорость \(\omega_1\) (которая равна нулю, так как колесо только начинает вращаться), мы можем выразить \(\omega_2\).

\[500 \, \text{Н} \cdot 0.4 \, \text{м} \cdot \left( \frac{30}{360} \cdot 2\pi \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{кг} \cdot (0.4 \, \text{м})^2 + 8 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \right) \cdot \omega_2^2\]

Решив это уравнение, найдем значение \(\omega_2\), а затем с помощью него - частоту вращения платформы с человеком.