На улице живет жадный мальчик, который однажды идет и ест мороженое. Мальчик задумывается: Хотелось бы мне сто порций

Мальчик осторожно кивает в ответ, соглашаясь с вопросом дедушки. Дедушка улыбается и говорит: "Молодец, я дарю тебе эти сто порций мороженого, но есть одно условие. Я буду давать тебе мороженое каждый день, но ты должен следовать моим инструкциям."

Мальчик с интересом слушает дедушку и ждет, какие инструкции он получит. Дедушка говорит: "Каждый день я буду давать тебе мороженое в два раза больше, чем ты съел вчера. То есть, если сегодня ты съел 1 порцию мороженого, завтра я дам тебе 2 порции, а послезавтра - 4 порции, и так далее. Всего я буду давать тебе мороженое в течение ста дней."

Мальчик радостно кивает и соглашается с условиями дедушки. Он понимает, что если он будет следовать инструкциям, то сможет получить сто порций мороженого.

На следующий день дедушка принес мальчику 2 порции мороженого. Мальчик съел одну порцию и осталась еще одна. На третий день дедушка принес 4 порции мороженого. Мальчик сначала съел оставшуюся порцию от вчерашнего дня и еще одну новую порцию. Теперь у него осталось 3 порции мороженого.

Таким образом, каждый день мальчик будет съедать количество порций мороженого, равное сумме всех предыдущих дней. После десятого дня у него будет 512 порций мороженого.

Мальчик восхищенно осознает, что эта последовательность чисел составляет геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2. Он понимает, что сумма геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

\[S_n = \frac{{a(1-r^n)}}{{1-r}}\]

Где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

В данном случае, когда n равно 100, a равно 1 и r равно 2, мы можем подставить значения в формулу и вычислить сумму:

\[S_{100} = \frac{{1(1-2^{100})}}{{1-2}} = \frac{{1(1-2^{100})}}{{-1}}\]

Мальчик достает калькулятор и начинает вычислять:

\[S_{100} = \frac{{1(1-2^{100})}}{{-1}} = \frac{{1(1-1.2676506 \times 10^{30})}}{{-1}}\]

пытается дальше вычислить, но замечает, что числа становятся слишком большими, и его калькулятор не в состоянии обработать такую большую сумму.

Мальчик замечает, что сумма этих чисел известна как бесконечная геометрическая прогрессия, и часть после первых нескольких членов можно приближенно вычислить, используя формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S_\infty = \frac{a}{{1-r}}\]

Подставляем значения:

\[S_\infty = \frac{1}{{1-2}} = \frac{1}{{-1}} = -1\]

Мальчик опять удивляется. Получается, что сумма бесконечной геометрической прогрессии отрицательна. Он понимает, что это происходит из-за того, что знаменатель прогрессии больше единицы, и сумма неограниченно растет к бесконечности, но в отрицательном направлении.

Мальчик радостно осознает, что сумма ста порций мороженого будет равна -1. Он поблагодарил дедушку и почувствовал благодарность к нему за эту удивительную задачу, которая не только подарила ему сто порций мороженого, но и помогла ему лучше понять геометрические прогрессии.