На трьох підприємствах виготовляють телевізори. Відсоток браку становить 10% на першому підприємстві, 5% на другому

Розглянемо пошагове рішення задачі. Для того, щоб знайти ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на кожному з трьох підприємств, використаємо формулу умовної ймовірності.

а) Щоб знайти ймовірність того, що телевізор виготовлений на першому підприємстві, треба обчислити спільну ймовірність випадку, коли бракований телевізор виготовлений на цьому підприємстві і загальну ймовірність купівлі бракованого телевізора.

Означимо події:
$A$ - телевізор виготовлений на першому підприємстві,
$B$ - телевізор є бракованим.

За умовою задачі, ймовірність бракованого телевізора на першому підприємстві дорівнює 10%, тобто $P(B|A)=0.10$. Ймовірність виготовлення телевізора на першому підприємстві, що заданий, дорівнює 1/3, тобто $P(A)=\frac{1}{3}$.

За формулою умовної ймовірності, ймовірність того, що телевізор виготовлений на першому підприємстві, якщо він є бракованим, обчислюється за формулою:
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$$

Необхідно знайти загальну ймовірність купівлі бракованого телевізора, тобто ймовірність події $B$. Цю ймовірність можна знайти, враховуючи ймовірності браку на кожному підприємстві та їх загальну ймовірність виготовлення, за формулою:
$$P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)$$

Підставляємо відомі дані і обчислюємо:

$$P(B)=0.10\cdot \frac{1}{3}+0.05\cdot \frac{1}{3}+0.15\cdot \frac{1}{3}$$
$$P(B)=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}+\frac{1}{20}=\frac{1}{10}$$

Тепер, підставляємо відомі значення у формулу умовної ймовірності та обчислюємо:

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}=\frac{0.10\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{10}}=\frac{1}{3}$$

Отже, ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на першому підприємстві, дорівнює $\frac{1}{3}$.

б) Аналогічним чином, обчислюємо ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на другому підприємстві:

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}=\frac{0.05\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{10}}=\frac{1}{6}$$

Отже, ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на другому підприємстві, дорівнює $\frac{1}{6}$.

в) Аналогічно обчислюємо ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на третьому підприємстві:

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}=\frac{0.15\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{10}}=\frac{1}{2}$$

Отже, ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на третьому підприємстві, дорівнює $\frac{1}{2}$.

Порівнюючи ці ймовірності, ми бачимо, що ймовірність виготовлення бракованого телевізора на третьому підприємстві є найбільшою, а на другому підприємстві - найменшою. Це можна узагальнити таким чином: чим вище відсоток браку на підприємстві, тим більша ймовірність того, що виготовлений бракований телевізор саме на цьому підприємстві.