На трьох підприємствах виготовляють телевізори. Відсоток браку становить 10% на першому підприємстві, 5% на другому

Розглянемо пошагове рішення задачі. Для того, щоб знайти ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на кожному з трьох підприємств, використаємо формулу умовної ймовірності.

а) Щоб знайти ймовірність того, що телевізор виготовлений на першому підприємстві, треба обчислити спільну ймовірність випадку, коли бракований телевізор виготовлений на цьому підприємстві і загальну ймовірність купівлі бракованого телевізора.

Означимо події:
\(A\) - телевізор виготовлений на першому підприємстві,
\(B\) - телевізор є бракованим.

За умовою задачі, ймовірність бракованого телевізора на першому підприємстві дорівнює 10%, тобто \(P(B|A) = 0.10\). Ймовірність виготовлення телевізора на першому підприємстві, що заданий, дорівнює 1/3, тобто \(P(A) = \frac{1}{3}\).

За формулою умовної ймовірності, ймовірність того, що телевізор виготовлений на першому підприємстві, якщо він є бракованим, обчислюється за формулою:
\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\]

Необхідно знайти загальну ймовірність купівлі бракованого телевізора, тобто ймовірність події \(B\). Цю ймовірність можна знайти, враховуючи ймовірності браку на кожному підприємстві та їх загальну ймовірність виготовлення, за формулою:
\[P(B) = P(B|A_1) \cdot P(A_1) + P(B|A_2) \cdot P(A_2) + P(B|A_3) \cdot P(A_3)\]

Підставляємо відомі дані і обчислюємо:

\[P(B) = 0.10 \cdot \frac{1}{3} + 0.05 \cdot \frac{1}{3} + 0.15 \cdot \frac{1}{3}\]
\[P(B) = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10}\]

Тепер, підставляємо відомі значення у формулу умовної ймовірності та обчислюємо:

\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0.10 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{10}} = \frac{1}{3}\]

Отже, ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на першому підприємстві, дорівнює \(\frac{1}{3}\).

б) Аналогічним чином, обчислюємо ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на другому підприємстві:

\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0.05 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{10}} = \frac{1}{6}\]

Отже, ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на другому підприємстві, дорівнює \(\frac{1}{6}\).

в) Аналогічно обчислюємо ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на третьому підприємстві:

\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0.15 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{10}} = \frac{1}{2}\]

Отже, ймовірність того, що бракований телевізор виготовлений на третьому підприємстві, дорівнює \(\frac{1}{2}\).

Порівнюючи ці ймовірності, ми бачимо, що ймовірність виготовлення бракованого телевізора на третьому підприємстві є найбільшою, а на другому підприємстві - найменшою. Це можна узагальнити таким чином: чим вище відсоток браку на підприємстві, тим більша ймовірність того, що виготовлений бракований телевізор саме на цьому підприємстві.