На сколько высоты над землей находится шарообразное тело массой 78 кг, на которое действует сила тяжести величиной

Хорошо, для начала давайте рассмотрим, как сила тяжести связана с массой и высотой над землей. Сила тяжести вычисляется по формуле:

\[F = m \cdot g\]

где \(F\) - сила тяжести, \(m\) - масса тела, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли обычно принимается равным примерно 9,8 м/с². Теперь мы можем использовать эту формулу для решения задачи.

Подставим заданные значения:

\[F = 720 \, \text{Н}\]
\[m = 78 \, \text{кг}\]
\[g = 9,8 \, \text{м/с²}\]

Теперь найдем высоту, на которой находится тело. Для этого мы используем формулу для потенциальной энергии:

\[U = m \cdot g \cdot h\]

где \(U\) - потенциальная энергия, \(m\) - масса тела, \(g\) - ускорение свободного падения, а \(h\) - высота над землей.

Мы также можем записать потенциальную энергию, используя формулу гравитационной энергии:

\[U = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r}\]

где \(U\) - потенциальная энергия, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух взаимодействующих тел, а \(r\) - расстояние между ними.

В данной задаче мы имеем только одно тело (шарообразное тело) и Землю, чтобы найти высоту, на которой находится тело, мы можем приравнять оба выражения для потенциальной энергии:

\[m \cdot g \cdot h = G \cdot \frac{m \cdot m_\text{Земли}}{r}\]

где \(m\) - масса тела, \(m_\text{Земли}\) - масса Земли, а \(r\) - расстояние от центра Земли до центра тела (радиус Земли плюс высота над землей).

Разделим обе части уравнения на \(m\) и упростим:

\[g \cdot h = G \cdot \frac{m_\text{Земли}}{r}\]

Теперь выразим высоту \(h\):

\[h = \frac{G \cdot m_\text{Земли}}{g \cdot r}\]

Подставим значения:

\[h = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot 5,97 \cdot 10^{24} \, \text{кг}}{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot (6,38 \cdot 10^6 \, \text{м} + h)}\]

Теперь решим это уравнение для \(h\). Давайте выполним несколько алгебраических преобразований:

\[h \cdot (9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot (6,38 \cdot 10^6 \, \text{м} + h)) = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot 5,97 \cdot 10^{24} \, \text{кг}\]
\[9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot (6,38 \cdot 10^6 \, \text{м} \cdot h + h^2) = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot 5,97 \cdot 10^{24} \, \text{кг}\]
\[62,44 \cdot 10^6 \, \text{м} \cdot h + 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot h^2 = 3,98 \cdot 10^{14} \, \text{м}^3/\text{с}^2\]
\[9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot h^2 + 62,44 \cdot 10^6 \, \text{м} \cdot h - 3,98 \cdot 10^{14} \, \text{м}^3/\text{с}^2 = 0\]

Теперь мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]
\[= (62,44 \cdot 10^6 \, \text{м})^2 - 4 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot (-3,98 \cdot 10^{14} \, \text{м}^3/\text{с}^2)\]
\[= 3,9 \cdot 10^{13} \, \text{м}^2\]

Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения:

\[h = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
\[h = \frac{-62,44 \cdot 10^6 \, \text{м} \pm \sqrt{3,9 \cdot 10^{13} \, \text{м}^2}}{2 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}\]

Выполним вычисления:

\[h_1 = \frac{-62,44 \cdot 10^6 \, \text{м} + \sqrt{3,9 \cdot 10^{13} \, \text{м}^2}}{2 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}\]
\[h_2 = \frac{-62,44 \cdot 10^6 \, \text{м} - \sqrt{3,9 \cdot 10^{13} \, \text{м}^2}}{2 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}\]

Подставим значения:

\[h_1 = \frac{-62,44 \cdot 10^6 \, \text{м} + \sqrt{3,9 \cdot 10^{13} \, \text{м}^2}}{19,6 \, \text{м/с}^2}\]
\[h_2 = \frac{-62,44 \cdot 10^6 \, \text{м} - \sqrt{3,9 \cdot 10^{13} \, \text{м}^2}}{19,6 \, \text{м/с}^2}\]

Теперь вычислим значения \(h_1\) и \(h_2\):

\[h_1 \approx 1,04 \cdot 10^7 \, \text{м}\]
\[h_2 \approx -6,29 \cdot 10^6 \, \text{м}\]

Итак, решение квадратного уравнения дает два значения \(h_1\) и \(h_2\). Очевидно, что высота над землей не может быть отрицательной, поэтому мы выбираем значение \(h_1\) как ответ.

Таким образом, шарообразное тело находится на высоте примерно \(1,04 \cdot 10^7\) метров над землей.