На сколько способов можно установить 10 различных книг на полке так, чтобы 3 определенные книги находились рядом?

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать принцип комбинаторики. В этой задаче, у нас есть 10 различных книг и 3 определенные книги, которые должны быть рядом. Давайте разобьем задачу на несколько случаев для лучшего понимания.

1. Пусть определенные книги занимают первые три места на полке.

В этом случае мы можем разместить оставшиеся 7 книг на оставшихся 7 местах на полке. Количество способов расположения этих 7 книг можно найти, используя формулу для перестановки:

\(\text{{Количество способов для каждого случая}} = P(7, 7) = 7!\)

2. Пусть определенные книги занимают места с 2-го по 4-ое на полке.

Изначально у нас есть 3 определенные книги, их можно разместить на 3 местах так:
- место 2, 3 и 4 (всего 1 способ).

После размещения этих книг, у нас остается 7 книг для размещения на оставшихся 7 местах на полке. Следовательно, общее количество способов будет равно:
\(\text{{Количество способов для каждого случая}} = P(7, 7) = 7!\)

3. Пусть определенные книги занимают места с 3-го по 5-ое на полке.

Аналогично предыдущему случаю, мы можем разместить оставшиеся 7 книг на оставшихся 7 местах на полке. Следовательно, количество способов будет равно:
\(\text{{Количество способов для каждого случая}} = P(7, 7) = 7!\)

4. Пусть определенные книги занимают места с 4-го по 6-ое на полке.

Аналогично предыдущим случаям, мы можем разместить оставшиеся 7 книг на оставшихся 7 местах на полке. Количество способов будет равно:
\(\text{{Количество способов для каждого случая}} = P(7, 7) = 7!\)

5. Пусть определенные книги занимают последние три места на полке.

Аналогично предыдущим случаям, мы размещаем оставшиеся 7 книг на оставшихся 7 местах на полке. Количество способов будет равно:
\(\text{{Количество способов для каждого случая}} = P(7, 7) = 7!\)

Теперь, чтобы найти общее количество способов, мы просто сложим результаты для каждого случая:

\(\text{{Общее количество способов}} = 1 \cdot P(7, 7) + 1 \cdot P(7, 7) + 1 \cdot P(7, 7) + 1 \cdot P(7, 7) + 1 \cdot P(7, 7) = 5 \cdot P(7, 7) = 5 \cdot 7!\)

Таким образом, общее количество способов установить 10 различных книг на полке так, чтобы 3 определенные книги находились рядом равно \(5 \cdot 7!\).