На сколько раз больше объем призмы, чем объем пирамиды с одинаковыми основаниями и высотой, равной апофеме пирамиды?

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание формул для объемов призмы и пирамиды. Объем призмы вычисляется по формуле \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \times h_{\text{призмы}}\), где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания призмы, а \(h_{\text{призмы}}\) - высота призмы. Объем пирамиды вычисляется по формуле \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h_{\text{пирамиды}}\), где \(h_{\text{пирамиды}}\) - высота пирамиды, а \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды.

В данной задаче у нас высота пирамиды равна её апофеме. Апофема - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания. Известно, что у призмы и пирамиды одинаковые основания, а значит и площадь их оснований одинакова. Обозначим её как \(S_{\text{основания}}\).

Теперь наша задача - выразить объем призмы и пирамиды через известные величины и сравнить их.

По условию задачи, высота призмы равна апофеме пирамиды. Обозначим эту высоту как \(h\). Также у нас есть площадь общего основания, которую мы обозначили как \(S_{\text{основания}}\).

Объем призмы:
\[V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \times h\]

Объем пирамиды:
\[V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h\]

Теперь сравним их. Чтобы найти соотношение объемов призмы и пирамиды, разделим объем призмы на объем пирамиды:
\[\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{пирамиды}}} = \frac{S_{\text{основания}} \times h}{\frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h}\]

Здесь площадь основания сократится и получим:
\[\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{пирамиды}}} = 3\]

Таким образом, объем призмы будет в 3 раза больше объема пирамиды с одинаковыми основаниями и высотой, равной апофеме пирамиды.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять задачу.