На сколько раз больше объем цилиндра, чем объем конуса, если высота цилиндра втрое больше высоты конуса, а основания этих фигур одинаковы и представляют собой круги?
Zarina
Для начала, нам необходимо знать формулы для вычисления объема цилиндра и конуса.
Объем цилиндра можно вычислить по формуле:
\[V_{\text{цил}} = \pi r_{\text{цил}}^2 h_{\text{цил}}\]
где \(V_{\text{цил}}\) - объем цилиндра, \(r_{\text{цил}}\) - радиус основания цилиндра, \(h_{\text{цил}}\) - высота цилиндра.
А объем конуса вычисляется по формуле:
\[V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{кон}}^2 h_{\text{кон}}\]
где \(V_{\text{кон}}\) - объем конуса, \(r_{\text{кон}}\) - радиус основания конуса, \(h_{\text{кон}}\) - высота конуса.
У нас есть условие задачи:
\(h_{\text{цил}} = 3h_{\text{кон}}\) - высота цилиндра втрое больше высоты конуса
\(r_{\text{цил}} = r_{\text{кон}}\) - радиусы оснований цилиндра и конуса одинаковы
Теперь давайте выразим радиус конуса через высоту конуса из первого условия:
\(h_{\text{цил}} = 3h_{\text{кон}}\) -> \(h_{\text{кон}} = \frac{h_{\text{цил}}}{3}\)
Теперь, зная выражение для высоты конуса, подставим его в формулу объема конуса:
\[V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{кон}}^2 \cdot \frac{h_{\text{цил}}}{3}\]
А теперь запишем формулу объема цилиндра, используя радиус конуса:
\[V_{\text{цил}} = \pi r_{\text{кон}}^2 \cdot 3h_{\text{кон}}\]
Теперь все готово для сравнения объемов. Для этого выразим объем цилиндра через объем конуса:
\[\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = \frac{\pi r_{\text{кон}}^2 \cdot 3h_{\text{кон}}}{\frac{1}{3} \pi r_{\text{кон}}^2 \cdot \frac{h_{\text{цил}}}{3}}\]
Теперь сократим некоторые части в этом равенстве:
\[\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = \frac{3 \cdot 3h_{\text{кон}}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{h_{\text{цил}}}{3}}\]
\[\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = \frac{3 \cdot 3h_{\text{кон}}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{3h_{\text{кон}}}{3}}\]
\[\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = \frac{9h_{\text{кон}}}{h_{\text{кон}}}\]
\[\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = 9\]
Таким образом, объем цилиндра в девять раз больше объема конуса.
Объем цилиндра можно вычислить по формуле:
\[V_{\text{цил}} = \pi r_{\text{цил}}^2 h_{\text{цил}}\]
где \(V_{\text{цил}}\) - объем цилиндра, \(r_{\text{цил}}\) - радиус основания цилиндра, \(h_{\text{цил}}\) - высота цилиндра.
А объем конуса вычисляется по формуле:
\[V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{кон}}^2 h_{\text{кон}}\]
где \(V_{\text{кон}}\) - объем конуса, \(r_{\text{кон}}\) - радиус основания конуса, \(h_{\text{кон}}\) - высота конуса.
У нас есть условие задачи:
\(h_{\text{цил}} = 3h_{\text{кон}}\) - высота цилиндра втрое больше высоты конуса
\(r_{\text{цил}} = r_{\text{кон}}\) - радиусы оснований цилиндра и конуса одинаковы
Теперь давайте выразим радиус конуса через высоту конуса из первого условия:
\(h_{\text{цил}} = 3h_{\text{кон}}\) -> \(h_{\text{кон}} = \frac{h_{\text{цил}}}{3}\)
Теперь, зная выражение для высоты конуса, подставим его в формулу объема конуса:
\[V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{кон}}^2 \cdot \frac{h_{\text{цил}}}{3}\]
А теперь запишем формулу объема цилиндра, используя радиус конуса:
\[V_{\text{цил}} = \pi r_{\text{кон}}^2 \cdot 3h_{\text{кон}}\]
Теперь все готово для сравнения объемов. Для этого выразим объем цилиндра через объем конуса:
\[\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = \frac{\pi r_{\text{кон}}^2 \cdot 3h_{\text{кон}}}{\frac{1}{3} \pi r_{\text{кон}}^2 \cdot \frac{h_{\text{цил}}}{3}}\]
Теперь сократим некоторые части в этом равенстве:
\[\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = \frac{3 \cdot 3h_{\text{кон}}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{h_{\text{цил}}}{3}}\]
\[\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = \frac{3 \cdot 3h_{\text{кон}}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{3h_{\text{кон}}}{3}}\]
\[\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = \frac{9h_{\text{кон}}}{h_{\text{кон}}}\]
\[\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = 9\]
Таким образом, объем цилиндра в девять раз больше объема конуса.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
