На сколько процентов изменится сопротивление однородного цилиндрического проводника, если его длина и диаметр

Чтобы решить эту задачу о изменении сопротивления проводника, нам понадобятся формулы для расчета сопротивления и правило изменения сопротивления проводника при изменении его геометрических размеров.

Сопротивление проводника можно рассчитать с помощью формулы:
\[R = \rho \frac{L}{A}\]
где \(R\) - сопротивление проводника, \(\rho\) - удельное сопротивление материала проводника, \(L\) - длина проводника, \(A\) - площадь поперечного сечения проводника.

Для цилиндрического проводника площадь сечения можно рассчитать по формуле:
\[A = \pi r^2\]
где \(r\) - радиус проводника.

Мы хотим узнать, на сколько процентов изменится сопротивление проводника при одновременном уменьшении его длины и диаметра в 3 раза. Для этого нам нужно рассчитать сопротивление до и после изменения размеров проводника, а затем найти процентное изменение.

Для начала, предположим, что исходная длина проводника \(L_0\) и радиус \(r_0\) равны 1. После изменения размеров проводника его новая длина \(L_1\) и новый радиус \(r_1\) будут равны соответственно \(L_1 = \frac{L_0}{3}\) и \(r_1 = \frac{r_0}{3}\).

Вычислим площадь поперечного сечения для исходного и нового проводников:
\[A_0 = \pi r_0^2\]
\[A_1 = \pi r_1^2\]

Зная формулы для расчета сопротивления и площади поперечного сечения, мы можем найти сопротивление для исходного и нового проводников:
\[R_0 = \rho \frac{L_0}{A_0}\]
\[R_1 = \rho \frac{L_1}{A_1}\]

Теперь, когда у нас есть значения сопротивления для исходного и нового проводников, мы можем найти процентное изменение сопротивления. Формула для процентного изменения:
\[ \text{Изменение \%} = \frac{R_1 - R_0}{R_0} \times 100\%\]

Давайте применим эти формулы и рассчитаем сопротивление до и после изменения размеров проводника:

1. Вычислим площадь поперечного сечения:
\[A_0 = \pi \cdot (1)^2\]
\[A_0 = \pi\]

2. Вычислим сопротивление для исходного проводника:
\[R_0 = \rho \frac{1}{\pi}\]

3. Вычислим новую площадь поперечного сечения:
\[A_1 = \pi \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2\]
\[A_1 = \frac{\pi}{9}\]

4. Вычислим сопротивление для нового проводника:
\[R_1 = \rho \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\pi}{9}}\]

5. Рассчитаем процентное изменение сопротивления:
\[\text{Изменение \%} = \frac{R_1 - R_0}{R_0} \times 100\%\]

Таким образом, мы получим конечный ответ. Нам нужно только заменить \(\rho\) удельным сопротивлением материала проводника в соответствии с условиями задачи. Приведенные выражения в это формулы дают качественные ответы, а точный ответ может быть найден только при известных численных значениях сопротивления материала проводника.