На сколько повысилась температура идеального газа массой 0,25 кг, когда он расширялся изобарически, совершая работу

Данная задача связана с идеальным газом и процессом изобарического расширения. Давайте рассмотрим все необходимые шаги для решения задачи.

1. Начнем с формулы, связывающей работу, изменение внутренней энергии и тепло для идеального газа. Согласно первым началам термодинамики:

\[Q = \Delta U + W\]

Где \(Q\) - тепло, \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии и \(W\) - работа.

2. В случае изобарического процесса, при котором давление газа остается неизменным, работа равна произведению постоянного давления на изменение объема газа:

\[W = P \cdot \Delta V\]

Где \(P\) - давление и \(\Delta V\) - изменение объема газа.

3. Теперь необходимо найти изменение объема газа. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

Где \(P\) - давление, \(V\) - объем газа, \(n\) - количество вещества (в молях), \(R\) - универсальная газовая постоянная и \(T\) - температура. В данной задаче исходные данные необходимы для расчета изменения объема.

4. Из уравнения состояния идеального газа можно выразить объем газа:

\[V = \frac{{nRT}}{P}\]

5. Теперь мы можем найти произведение постоянного давления на изменение объема газа:

\[W = P \cdot \Delta V = P \cdot \left(\frac{{nRT_2}}{P} - \frac{{nRT_1}}{P}\right)\]

Где \(T_1\) - начальная температура газа, а \(T_2\) - конечная температура газа.

6. В данной задаче известна работа \(W = 4,15 \times 10^4\) Дж и молекулярная масса газа \(m = 0,002\) кг/моль. Чтобы найти изменение внутренней энергии \(\Delta U\), учитываем, что небольшое изменение внутренней энергии газа связано с изменением его температуры:

\[\Delta U = nC_v \Delta T\]

Где \(C_v\) - молярная удельная теплоемкость при постоянном объеме и \(\Delta T\) - изменение температуры.

7. Для идеального газа молярная удельная теплоемкость при постоянном объеме \(C_v\) связана с универсальной газовой постоянной следующим образом:

\[C_v = \frac{{R}}{{\gamma - 1}}\]

Где \(\gamma\) - показатель адиабаты. Для моноатомного газа, такого как гелий или аргон, значение \(\gamma\) равно 5/3.

8. Теперь, имея все необходимые формулы, мы можем решить задачу. Первым делом рассчитаем изменение температуры \(\Delta T\), используя формулу для изменения внутренней энергии:

\[\Delta T = \frac{{\Delta U}}{{nC_v}}\]

9. Затем найдем количество вещества \(n\) с использованием молекулярной массы газа и его массы \(m\):

\[n = \frac{{m}}{{\text{{молекулярная масса}}}}\]

10. Таким образом, изменение температуры можно записать как:

\[\Delta T = \frac{{\Delta U}}{{\left(\frac{{m}}{{\text{{молекулярная масса}}}}\right) \cdot \frac{{R}}{{\gamma - 1}}}}\]

11. Наконец, зная изменение температуры \(\Delta T\), можно рассчитать конечную температуру газа:

\[T_2 = T_1 + \Delta T\]

Где \(T_1\) - начальная температура газа.

12. Подставим известные значения в уравнение для изменения температуры:

\[\Delta T = \frac{{4,15 \times 10^4}}{{\left(\frac{{0,25}}{{0,002}}\right) \cdot \frac{{8,314}}{{\frac{{5}}{{3}} - 1}}}}\]

13. Рассчитаем значение для \(\Delta T\):

\[\Delta T = 3751,63\, К\]

14. Наконец, рассчитаем конечную температуру \(T_2\):

\[T_2 = T_1 + \Delta T\]

Однако, в задаче не указана начальная температура газа, поэтому мы не можем точно рассчитать \(T_2\). Вместо этого, мы можем предоставить формулу для рассчета конечной температуры, используя начальную температуру \(T_1\):

\[T_2 = T_1 + 3751,63\, К\]

Таким образом, температура газа повышается на \(3751,63\, К\) при изобарическом расширении, совершая работу в размере \(4,15 \times 10^4\) Дж.