На сколько площадь квадрата, вписанного в окружность, отличается от площади квадрата, описанного вокруг этой

Для решения этой задачи, воспользуемся геометрическими свойствами квадрата и окружности.

Предположим, что радиус окружности \( R \), в которую вписан квадрат, равен \( r \). Тогда, сторона квадрата, вписанного в эту окружность, будет равна \( a = 2r \).

С другой стороны, диагональ квадрата, описанного вокруг окружности, будет равна диаметру этой окружности, то есть \( D = 2R \). По свойствам квадрата, известно, что диагональ равна произведению стороны на корень из 2. Таким образом, можем записать уравнение:

\( D = 2R = a\sqrt{2} = 2r\sqrt{2} \)

Теперь, чтобы найти площадь квадрата, вписанного в окружность, можно использовать формулу \( S_1 = a^2 \), где \( S_1 \) — площадь вписанного квадрата:

\( S_1 = (2r)^2 = 4r^2 \)

Аналогично, для площади квадрата, описанного вокруг окружности, используем формулу \( S_2 = D^2 \), где \( S_2 \) — площадь описанного квадрата:

\( S_2 = (2r\sqrt{2})^2 = 8r^2 \)

Теперь для определения разницы между площадью вписанного и описанного квадратов вычтем \( S_1 \) из \( S_2 \):

\( S_2 - S_1 = 8r^2 - 4r^2 = 4r^2 \)

Таким образом, площадь квадрата, вписанного в окружность, отличается от площади квадрата, описанного вокруг этой окружности, на \( 4r^2 \), где \( r \) — радиус окружности.

Обоснуем это. Мы получили разницу во второй степени радиуса окружности. Так как радиус квадрата, вписанного в окружность, в два раза меньше, чем радиус окружности, суммарная разница в площадях будет зависеть от квадрата этого радиуса.

Это решение дает полный ответ на поставленную задачу с объяснением каждого шага.