На сколько отличается радиус описанной окружности от радиуса вписанной, если катеты прямоугольного треугольника равны

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать свойства прямоугольных треугольников и окружностей, а также известные формулы. Давайте начнем с рассмотрения решения.

Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами \(a\) и \(b\), где \(a = 40\) и \(b = c\) (высота треугольника).

Известно, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно выразить через его площадь \(S\) и полупериметр \(p\):

\[r_{\text{впис.}} = \frac{S}{p}\]

Также, радиус описанной окружности можно выразить через стороны треугольника:

\[r_{\text{опис.}} = \frac{c}{2}\]

Где \(c\) — гипотенуза треугольника.

Теперь давайте найдем площадь и полупериметр этого треугольника. Площадь \(S\) равна:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot b = 20b\]

Полупериметр \(p\) равен:

\[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{40 + b + c}{2}\]

Теперь, используя найденные значения \(S\) и \(p\), мы можем найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

\[r_{\text{впис.}} = \frac{S}{p}\]

\[r_{\text{опис.}} = \frac{c}{2}\]

Мы знаем, что \(b = c\), поэтому можно заменить \(b\) на \(c\) в выражении для площади \(S\):

\[S = 20c\]

Теперь подставим найденное значение площади и полупериметра в формулы для радиусов:

\[r_{\text{впис.}} = \frac{S}{p} = \frac{20c}{\frac{40 + b + c}{2}} = \frac{40c}{40 + b + c}\]

\[r_{\text{опис.}} = \frac{c}{2}\]

Таким образом, разность между радиусами описанной и вписанной окружностей будет:

\[\text{разность} = r_{\text{опис.}} - r_{\text{впис.}} = \frac{c}{2} - \frac{40c}{40 + b + c}\]

Мы уже знаем, что \(b = c\), поэтому можем заменить \(b\) на \(c\):

\[\text{разность} = \frac{c}{2} - \frac{40c}{40 + c + c} = \frac{c}{2} - \frac{40c}{40 + 2c}\]

Теперь мы можем найти численное значение этой разности, подставив \(c = 40\):

\[\text{разность} = \frac{40}{2} - \frac{40 \cdot 40}{40 + 2 \cdot 40}\]

После выполнения вычислений, получаем:

\[\text{разность} = 20 - \frac{1600}{120} = 20 - 13.333... = 6.666...\]

Таким образом, радиус описанной окружности отличается от радиуса вписанной окружности на около 6.666 единицы.