На сколько оптическая длина пути светового луча больше его геометрической длины пути, если световой

Оптическая длина пути светового луча обычно больше его геометрической длины пути из-за эффекта преломления. Теперь рассмотрим заданную задачу более подробно.

У нас есть световой луч, который распространяется вдоль оси ОХ от точки \(x = 0 \, \text{м}\) до точки \(x = 0.6 \, \text{м}\). Показатель преломления среды задан функцией \(n(x) = 1 + x\), где координата \(x\) выражена в метрах.

Давайте разобьем путь светового луча на маленькие участки. Каждый участок будет характеризоваться своим показателем преломления, который меняется в зависимости от координаты \(x\).

Для каждого маленького участка длиной \(\Delta x\), оптическая длина пути будет равна \(\Delta s = n(x) \cdot \Delta x\), а геометрическая длина пути будет равна \(\Delta x\).

Суммируем оптические длины всех маленьких участков пути, чтобы получить общую оптическую длину пути:

\[
S_{\text{опт}} = \int\limits_{0}^{0.6} n(x) \, dx
\]

\[
S_{\text{опт}} = \int\limits_{0}^{0.6} (1 + x) \, dx
\]

Вычислим этот интеграл:

\[
S_{\text{опт}} = \left[ x + \frac{{x^2}}{2} \right]_{0}^{0.6}
\]

\[
S_{\text{опт}} = \left(0.6 + \frac{{0.6^2}}{2}\right) - \left(0 + \frac{{0^2}}{2}\right)
\]

\[
S_{\text{опт}} = 0.6 + \frac{{0.6^2}}{2}
\]

Теперь вычислим геометрическую длину пути:

\[
S_{\text{геом}} = x_{\text{конечный}} - x_{\text{начальный}} = 0.6 - 0 = 0.6
\]

Таким образом, оптическая длина пути светового луча \(S_{\text{опт}}\) больше его геометрической длины пути \(S_{\text{геом}}\). Чтобы найти насколько больше, мы вычитаем геометрическую длину пути из оптической длины пути:

\[
S_{\text{разность}} = S_{\text{опт}} - S_{\text{геом}}
\]

\[
S_{\text{разность}} = \left(0.6 + \frac{{0.6^2}}{2}\right) - 0.6
\]

\[
S_{\text{разность}} = \frac{{0.6^2}}{2}
\]

Следовательно, оптическая длина пути светового луча больше его геометрической длины пути на \(\frac{{0.6^2}}{2}\) метров.