На сколько колебаний уменьшилась амплитуда затухающих колебаний в e раз? Какой будет логарифмический декремент

Для ответа на ваш вопрос, давайте рассмотрим основные понятия, связанные с затухающими колебаниями, и постепенно перейдем к ответу на задачу.

Затухающие колебания - это колебания, которые постепенно уменьшаются во времени из-за наличия силы трения или сопротивления. Одна из характеристик затухающих колебаний - амплитуда, которая представляет собой максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. В задаче упоминается уменьшение амплитуды в \(e\) раз.

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо установить связь между амплитудой затухающих колебаний и временем. Это можно сделать, вспомнив формулу для амплитуды \(A\) в зависимости от времени \(t\):

\[A = A_0 e^{-\beta t},\]

где \(A_0\) - начальная амплитуда колебаний, \(\beta\) - коэффициент затухания.

Таким образом, если амплитуда уменьшилась в \(e\) раз, то новая амплитуда \(A_1\) будет равна

\[A_1 = \frac{A_0}{e}.\]

Для нахождения коэффициента затухания \(\beta\) можно воспользоваться выражением для логарифмического декремента затухания \(\delta\). Логарифмический декремент затухания определяется как естественный логарифм отношения двух последовательных амплитуд:

\[\delta = \ln\left(\frac{A_i}{A_{i+1}}\right),\]

где \(A_i\) и \(A_{i+1}\) - амплитуды двух последовательных колебаний.

В данном случае, если начальная амплитуда колебаний равна \(A_0\) и амплитуда после \(n\) колебаний равна \(A_n\), то логарифмический декремент затухания \(\delta\) можно выразить через амплитуды:

\[\delta = \frac{1}{n} \ln\left(\frac{A_i}{A_n}\right).\]

Теперь рассмотрим соотношение между амплитудой и временем в формуле для амплитуды затухающих колебаний. Если начальная амплитуда \(A_0\) соответствует моменту времени \(t=0\), то амплитуда \(A_n\) будет соответствовать моменту времени \(t=nT\), где \(T\) - период колебаний. Таким образом, мы можем записать формулу для логарифмического декремента затухания с использованием времени:

\[\delta = \frac{1}{n} \ln\left(\frac{A_0}{A_n}\right).\]

Используя то, что амплитуда уменьшилась в \(e\) раз, амплитуда \(A_1\) будет равна \(\frac{A_0}{e}\). Таким образом, можно переписать формулу для логарифмического декремента затухания следующим образом:

\[\delta = \frac{1}{n} \ln\left(\frac{A_0}{A_n}\right) = \frac{1}{n} \ln\left(\frac{A_0}{\frac{A_0}{e}}\right).\]

Сокращая \(A_0\), получаем:

\[\delta = \frac{1}{n} \ln(e) = \frac{1}{n}.\]

Таким образом, ответ на ваш вопрос:

1) Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в \(e\) раз.

2) Логарифмический декремент затухания равен \(\frac{1}{n}\), где \(n\) - количество колебаний.