На сколько изменится плотность газа в сосуде, если показания манометра при неизменной температуре снизятся с 15

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится закон Бойля-Мариотта, который гласит, что при постоянной температуре плотность газа обратно пропорциональна его давлению. Формула этого закона выглядит следующим образом:

\[\frac{{P_1 \cdot V_1}}{{P_2 \cdot V_2}} = 1\]

где \(P_1\) и \(P_2\) - первое и второе давление соответственно, \(V_1\) и \(V_2\) - первый и второй объем соответственно.

В данной задаче нам известны первое давление \(P_1 = 15\) бар, первый объем не указан, а второе давление \(P_2 = 3\) бар. Нас также просят найти изменение плотности газа, поэтому можем считать плотность постоянной.

Если мы предположим, что первый и второй объемы одинаковы (так как они не указаны в задаче), то мы сможем выразить изменение плотности \(d\).

\[\frac{{P_1 \cdot V}}{{P_2 \cdot V}} = 1\]

где \(V\) - объем газа, который мы предполагаем одинаковым в обоих случаях.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(V\):

\[P_1 \cdot V = P_2 \cdot V\]

\[V = \frac{{P_2}}{{P_1}} \cdot V\]

\[V = \frac{{3}}{{15}} \cdot V\]

\[V = \frac{{1}}{{5}} \cdot V\]

Таким образом, мы получили, что объем газа после изменения давления будет равен \(\frac{{1}}{{5}}\) от объема газа до изменения давления.

Теперь, чтобы найти изменение плотности, мы можем использовать формулу плотности газа:

\[\rho = \frac{{P}}{{RT}}\]

где \(\rho\) - плотность газа, \(P\) - давление газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная (\(0,0821\) л \cdot атм/(моль \cdot кельвин)), \(T\) - температура газа.

Поскольку температура остается неизменной, плотность газа будет обратно пропорциональна давлению. Мы можем записать это следующим образом:

\[\rho_1 \cdot P_1 = \rho_2 \cdot P_2\]

Где \(\rho_1\) и \(\rho_2\) - плотности газа до и после изменения давления соответственно.

Мы хотим найти разницу в плотности, поэтому можем выразить \(\rho_2\) через \(\rho_1\):

\[\rho_2 = \frac{{\rho_1 \cdot P_1}}{{P_2}}\]

Теперь мы можем приступить к численным расчетам. Из условия задачи известно, что атмосферное давление составляет 100,0 бар, поэтому мы можем заполнить значения:

\[\rho_2 = \frac{{\rho_1 \cdot P_1}}{{P_2}} = \frac{{\rho_1 \cdot 15}}{{3}}\]

Мы также можем предположить, что плотность газа до изменения давления равняется плотности газа после изменения давления (постоянная плотность), и обозначить ее \(\rho\). Теперь мы можем записать:

\[\rho_2 = \frac{{\rho \cdot 15}}{{3}}\]

Теперь остается только решить это уравнение относительно \(\rho\):

\[\rho = \frac{{\rho \cdot 15}}{{3}}\]

\[\frac{{\rho}}{{\rho}} = \frac{{15}}{{3}}\]

Таким образом,

\[\rho = \frac{{15}}{{3}} = 5\]

Итак, после изменения давления, плотность газа в сосуде увеличится в 5 раз.