На скільки збільшиться площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо сторону основи збільшити на 2 рази

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы для нахождения площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Начнем с того, что площадь боковой поверхности \( S \) пирамиды можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2}s \cdot P, \]

где \( s \) - длина стороны основания пирамиды, а \( P \) - периметр основания.

Также, нам понадобится формула для нахождения апофемы \( a \) треугольника по его стороне \( s \):

\[ a = \frac{s}{2\sqrt{3}}. \]

Обратите внимание, что в нашей задаче сторона основания увеличивается в 2 раза, а апофема - в 3 раза.

Пусть \( s_0 \) - исходная длина стороны основания, а \( a_0 \) - исходная апофема. Тогда, новая длина стороны основания будет \( 2s_0 \), а новая апофема - \( 3a_0 \).

Мы должны найти во сколько раз изменится площадь боковой поверхности. Для этого вычислим новую площадь боковой поверхности \( S" \):

\[ S" = \frac{1}{2}(2s_0) \cdot P" = 2s_0 \cdot \frac{1}{2}(P" = 3s_0) = 2s_0 \cdot \frac{3s_0}{2\sqrt{3}} = \frac{6s_0^2}{2\sqrt{3}} = \frac{3s_0^2}{\sqrt{3}}. \]

Таким образом, новая площадь боковой поверхности будет равна \( \frac{3s_0^2}{\sqrt{3}} \).

Теперь найдем, во сколько раз новая площадь боковой поверхности больше исходной:

\[ \frac{S"}{S} = \frac{\frac{3s_0^2}{\sqrt{3}}}{\frac{s_0P}{2}} = \frac{6s_0^2}{\sqrt{3}s_0P} = \frac{6s_0}{\sqrt{3}P}. \]

Заметим, что периметр основания также увеличивается в 2 раза, поскольку все стороны увеличиваются в 2 раза:

\[ P" = 3s_0 \cdot 3 = 9s_0. \]

Подставим это значение в предыдущее выражение и найдем окончательное значение, во сколько раз площадь боковой поверхности увеличивается:

\[ \frac{6s_0}{\sqrt{3}P} = \frac{6s_0}{\sqrt{3} \cdot 9s_0} = \frac{2}{3\sqrt{3}}. \]

Таким образом, площадь боковой поверхности увеличивается в \( \frac{2}{3\sqrt{3}} \) раза.

При этом, следует отметить, что данное повышение будет верным только для правильной треугольной пирамиды, где углы основания равны 60 градусов, а ребра равны между собой.