На скільки разів змінилась механічна напруга в дроті, якщо масу вантажу, підвішеного на ньому, збільшили у 2 рази

Для решения этой задачи воспользуемся законом Гука, который гласит, что механическая напряжение в проводнике (в данном случае, в дроте) пропорциональна приложенной силе. В математической форме это выражается следующим уравнением:

\(F = k \cdot \Delta L\),

где \(F\) - сила, \(k\) - коэффициент пропорциональности (жёсткость проводника), а \(\Delta L\) - изменение длины проводника.

Так как мы хотим узнать, на сколько раз изменилась механическая напряжение, то нужно сравнить изменение длины проводника с изначальной длиной. Пусть изначальная длина проводника равна \(L\), приложенная сила равна \(F_1\), а после изменений длина проводника стала равна \(L_2\) и приложенная сила стала равна \(F_2\).

Из условия задачи нам известно, что массу вантажа (и, следовательно, силу, с которой он действует) увеличили в 2 раза. По закону Гука сила и изменение длины проводника пропорциональны. Таким образом, мы получаем:

\(\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \dfrac{L_2 - L}{L - L_1}\),

где \(\Delta L_1 = L - L_1\) - изначальное изменение длины проводника (равное разности его изначальной длины и длины проводника после увеличения вантажа).

Теперь рассмотрим изменение диаметра проводника. Диаметр проводника связан с его площадью поперечного сечения \(A\) следующим образом:

\(A = \pi \cdot r^2\),

где \(r\) - радиус проводника. Площадь поперечного сечения проводника также влияет на его жёсткость, т.е. коэффициент пропорциональности \(k\) может измениться в зависимости от изменения площади поперечного сечения проводника. В данной задаче речь идёт о замене дрота с диаметром 2 мм на дрот с диаметром 1 мм.

Радиус проводника связан с его диаметром следующим образом:

\(r_2 = \dfrac{d_2}{2}\),

где \(d_2\) - диаметр дрота после замены.

Таким образом, с помощью формулы для площади поперечного сечения проводника, мы можем узнать, на сколько раз изменилась площадь поперечного сечения проводника:

\(\dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{{\pi \cdot r_2^2}}{{\pi \cdot r_1^2}} = \dfrac{{(d_2/2)^2}}{{(d_1/2)^2}} = \dfrac{{d_2^2}}{{d_1^2}}\),

где \(A_1\) - изначальная площадь поперечного сечения проводника (с диаметром \(d_1\)).

Теперь, чтобы узнать, на сколько раз изменилась механическая напряжение, нужно сравнить изменение длины проводника с изначальной длиной и изменение площади поперечного сечения проводника с изначальной площадью поперечного сечения проводника. То есть:

\(\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{{\Delta L_2}}{{\Delta L_1}} \cdot \dfrac{{A_2}}{{A_1}} = \dfrac{{L_2 - L}}{{L - L_1}} \cdot \dfrac{{d_2^2}}{{d_1^2}}\).

Теперь подставим значения из условия задачи. Пусть исходные значения длины и диаметра проводника равны \(L = L_1\), \(d_1 = 2\) мм. После изменений длина проводника стала равна \(L_2 = 2L\), а диаметр проводника стал равен \(d_2 = 1\) мм.

Подставляем значения в формулу, и получаем:

\(\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{{2L - L}}{{L - L}} \cdot \dfrac{{(1\, \text{мм})^2}}{{(2\, \text{мм})^2}} = \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\).

Таким образом, механическая напряжение в дроте изменилась в \(1/4\) или в \(0.25\) раза. Ответом в данной задаче является вариант ответа г) "Змінилась у 8 разів".