На скільки разів змінилась механічна напруга в дроті, якщо масу вантажу, підвішеного на ньому, збільшили у 2 рази

Для решения этой задачи воспользуемся законом Гука, который гласит, что механическая напряжение в проводнике (в данном случае, в дроте) пропорциональна приложенной силе. В математической форме это выражается следующим уравнением:

$F=k\cdot \mathrm{\Delta }L$,

где $F$ - сила, $k$ - коэффициент пропорциональности (жёсткость проводника), а $\mathrm{\Delta }L$ - изменение длины проводника.

Так как мы хотим узнать, на сколько раз изменилась механическая напряжение, то нужно сравнить изменение длины проводника с изначальной длиной. Пусть изначальная длина проводника равна $L$, приложенная сила равна $F_1$, а после изменений длина проводника стала равна $L_2$ и приложенная сила стала равна $F_2$.

Из условия задачи нам известно, что массу вантажа (и, следовательно, силу, с которой он действует) увеличили в 2 раза. По закону Гука сила и изменение длины проводника пропорциональны. Таким образом, мы получаем:

${\displaystyle \frac{F_2}{F_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{L}_2}{\mathrm{\Delta }{L}_1}}={\displaystyle \frac{L_2-L}{L-L_1}}$,

где $\mathrm{\Delta }{L}_1=L-L_1$ - изначальное изменение длины проводника (равное разности его изначальной длины и длины проводника после увеличения вантажа).

Теперь рассмотрим изменение диаметра проводника. Диаметр проводника связан с его площадью поперечного сечения $A$ следующим образом:

$A=\pi \cdot r^2$,

где $r$ - радиус проводника. Площадь поперечного сечения проводника также влияет на его жёсткость, т.е. коэффициент пропорциональности $k$ может измениться в зависимости от изменения площади поперечного сечения проводника. В данной задаче речь идёт о замене дрота с диаметром 2 мм на дрот с диаметром 1 мм.

Радиус проводника связан с его диаметром следующим образом:

$r_2={\displaystyle \frac{d_2}{2}}$,

где $d_2$ - диаметр дрота после замены.

Таким образом, с помощью формулы для площади поперечного сечения проводника, мы можем узнать, на сколько раз изменилась площадь поперечного сечения проводника:

${\displaystyle \frac{A_2}{A_1}}={\displaystyle \frac{\pi \cdot r_2^2}{\pi \cdot r_1^2}}={\displaystyle \frac{(d_2/2{)}^2}{(d_1/2{)}^2}}={\displaystyle \frac{d_2^2}{d_1^2}}$,

где $A_1$ - изначальная площадь поперечного сечения проводника (с диаметром $d_1$).

Теперь, чтобы узнать, на сколько раз изменилась механическая напряжение, нужно сравнить изменение длины проводника с изначальной длиной и изменение площади поперечного сечения проводника с изначальной площадью поперечного сечения проводника. То есть:

${\displaystyle \frac{F_2}{F_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{L}_2}{\mathrm{\Delta }{L}_1}}\cdot {\displaystyle \frac{A_2}{A_1}}={\displaystyle \frac{L_2-L}{L-L_1}}\cdot {\displaystyle \frac{d_2^2}{d_1^2}}$.

Теперь подставим значения из условия задачи. Пусть исходные значения длины и диаметра проводника равны $L=L_1$, $d_1=2$ мм. После изменений длина проводника стала равна $L_2=2L$, а диаметр проводника стал равен $d_2=1$ мм.

Подставляем значения в формулу, и получаем:

${\displaystyle \frac{F_2}{F_1}}={\displaystyle \frac{2L-L}{L-L}}\cdot {\displaystyle \frac{(1\text{мм}{)}^2}{(2\text{мм}{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{1}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Таким образом, механическая напряжение в дроте изменилась в $1/4$ или в $0.25$ раза. Ответом в данной задаче является вариант ответа г) "Змінилась у 8 разів".