На ребре A1D1 куба ABCDA1B1C1D1, длиной 1 ед. изм., находится точка M так, что отношение A1M к MD1 равно 1:3. Каков

Данная задача требует решения с использованием геометрических понятий и формул. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с построения куба ABCDA1B1C1D1 и точки M на ребре A1D1, так что A1M : MD1 = 1 : 3.

2. Рассмотрим треугольник A1MD1. Поскольку отношение A1M к MD1 составляет 1 : 3, мы можем разделить ребро A1D1 на 4 равные части. Обозначим их точками P1, P2 и P3. Точка P1 будет совпадать с точкой A1, а точка P3 - с точкой D1. Точка M находится между точками P2 и P3.

3. Теперь рассмотрим плоскость (BB1D1D), которая включает в себя ребра B1D1 и DD1, а также их продолжения. Эта плоскость является диагональной плоскостью куба.

4. Затем проведем прямую AM. Она будет пересекать плоскость (BB1D1D) в некоторой точке X.

5. Чтобы найти синус угла ϕ, мы должны сначала найти значение синуса угла между векторами \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{XX"}\), где \(\overrightarrow{XX"}\) - это проекция вектора \(\overrightarrow{AM}\) на плоскость (BB1D1D).

6. Для этого нам понадобятся координаты точек M, X и X". Пусть точки A1, D1 и P2 имеют координаты (0, 0, 0), (1, 0, 0) и (0, 0, 0.75) соответственно.

7. Поскольку точка M находится между точками P2 и P3, мы можем найти ее координаты, используя среднее значение координат P2 и P3:
\[M = (\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0.75 + 1}{2}) = (0, 0, 0.875)\]

8. Теперь мы можем найти вектор \(\overrightarrow{AM}\):
\[\overrightarrow{AM} = (0 - 0, 0 - 0, 0.875 - 0) = (0, 0, 0.875)\]

9. Чтобы найти вектор \(\overrightarrow{XX"}\), нужно проектировать \(\overrightarrow{AM}\) на плоскость (BB1D1D). Плоскость (BB1D1D) можно представить в виде векторного произведения векторов \(\overrightarrow{B1D1}\) и \(\overrightarrow{BD}\):
\[\overrightarrow{B1D1} = (1 - 0, 0 - 0, 0.75 - 0) = (1, 0, 0.75)\]
\[\overrightarrow{BD} = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (1, 1, 0)\]
\[\overrightarrow{XX"} = \overrightarrow{AM} - \text{proj}_{\overrightarrow{BD}}(\overrightarrow{AM})\]

10. Чтобы найти проекцию вектора \(\overrightarrow{AM}\) на вектор \(\overrightarrow{BD}\), мы должны найти единичный вектор, параллельный \(\overrightarrow{BD}\). Поделим вектор \(\overrightarrow{BD}\) на его длину:
\[\lVert \overrightarrow{BD} \rVert = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (0)^2} = \sqrt{2}\]
\[\overrightarrow{BD_0} = \frac{\overrightarrow{BD}}{\lVert \overrightarrow{BD} \rVert} = \frac{(1, 1, 0)}{\sqrt{2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)\]

11. Проекция вектора \(\overrightarrow{AM}\) на вектор \(\overrightarrow{BD}\) равна произведению скалярного произведения \(\overrightarrow{AM}\) и единичного вектора \(\overrightarrow{BD_0}\) на вектор \(\overrightarrow{BD_0}\):
\[\text{proj}_{\overrightarrow{BD}}(\overrightarrow{AM}) = \left(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BD_0}\right) \overrightarrow{BD_0}\]

12. Вычисляем скалярное произведение \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{BD_0}\):
\[\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BD_0} = (0, 0, 0.875) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) = 0 + 0 + 0 = 0\]

13. Теперь находим проекцию вектора \(\overrightarrow{AM}\) на вектор \(\overrightarrow{BD_0}\):
\[\text{proj}_{\overrightarrow{BD}}(\overrightarrow{AM}) = (0, 0, 0) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) = (0, 0, 0)\]

14. Наконец, находим вектор \(\overrightarrow{XX"}\):
\[\overrightarrow{XX"} = \overrightarrow{AM} - \text{proj}_{\overrightarrow{BD}}(\overrightarrow{AM}) = (0, 0, 0.875) - (0, 0, 0) = (0, 0, 0.875)\]

15. Мы можем заметить, что вектор \(\overrightarrow{XX"}\) совпадает с вектором \(\overrightarrow{AM}\), так как его проекция на плоскость (BB1D1D) оказывается нулевой. Это говорит нам о том, что прямая AM полностью лежит в плоскости (BB1D1D).

16. Так как синус угла между двумя параллельными прямыми равен 0, у нас получается:
\[\sin\phi = 0\]

Итак, синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D) равен 0.